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数学2 接線・不等式問題 11 解説

方針・初手

曲線外の点から引いた接線の方程式を求める典型問題である。接点が与えられていないため、まずは曲線上の接点を $(t, t^3 - 2t + 1)$ とおき、$t$ を用いて接線の方程式を立式する。その接線が指定された点（AやB）を通るという条件から、$t$ についての方程式を導く。 (2)では「接線が3本引ける」という条件を「接点の $x$ 座標 $t$ が異なる3つ存在する」、すなわち導いた $t$ の方程式が異なる3つの実数解をもつ条件として読み替える。

解法1

$f(x) = x^3 - 2x + 1$ とおく。これを微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 - 2$$

となる。

(1) 曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 - 2t + 1)$ における接線の方程式は、

$$y - (t^3 - 2t + 1) = (3t^2 - 2)(x - t)$$

展開して整理すると、

$$y = (3t^2 - 2)x - 2t^3 + 1$$

この接線が点 $\text{A}(2, -3)$ を通るので、$x = 2$、$y = -3$ を代入して、

$$-3 = (3t^2 - 2) \cdot 2 - 2t^3 + 1$$

$$-3 = -2t^3 + 6t^2 - 3$$

$$2t^3 - 6t^2 = 0$$

$$2t^2(t - 3) = 0$$

これを解いて、

$$t = 0, 3$$

(2) (1)で求めた接線の方程式が点 $\text{B}(2, a)$ を通るので、同様に $x = 2$、$y = a$ を代入して、

$$a = -2t^3 + 6t^2 - 3$$

3次関数のグラフにおいて、接点の $x$ 座標 $t$ が異なれば、接線も異なる。したがって、点 $\text{B}$ から曲線 $C$ に異なる3本の接線が引けるための条件は、上記の方程式が異なる3つの実数解をもつことである。

ここで、$g(t) = -2t^3 + 6t^2 - 3$ とおく。方程式 $g(t) = a$ が異なる3つの実数解をもつ条件は、関数 $y = g(t)$ のグラフと直線 $y = a$ が異なる3つの共有点をもつことである。

関数 $g(t)$ を微分すると、

$$g'(t) = -6t^2 + 12t = -6t(t - 2)$$

$g'(t) = 0$ とすると、$t = 0, 2$ である。 $g(t)$ の増減は以下のようになる。

$t < 0$ のとき、$g'(t) < 0$ より単調減少。 $0 < t < 2$ のとき、$g'(t) > 0$ より単調増加。 $t > 2$ のとき、$g'(t) < 0$ より単調減少。

極値は、極小値：$g(0) = -3$ 極大値：$g(2) = -2 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^2 - 3 = 5$

したがって、$y = g(t)$ のグラフと直線 $y = a$ が異なる3つの共有点をもつような $a$ の値の範囲は、極小値と極大値の間をとる場合なので、

$$-3 < a < 5$$

解説

「曲線外の点から引いた接線」の問題では、「接点を $(t, f(t))$ とおく」ことが最大のポイントである。初手で点 $(2, -3)$ や $(2, a)$ を無理やり微分した式に代入しようとすると行き詰まる。 (2)では、方程式の解の個数を問う問題に帰着される。定数 $a$ を分離して $a = g(t)$ の形にし、2つのグラフ $y = a$ と $y = g(t)$ の交点の個数として視覚的に捉える「定数分離法」が非常に有効である。