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数学2 接線・不等式問題 13 解説

方針・初手

曲線外の点から引いた接線の本数は、接点の $x$ 座標（接点パラメータ）に関する方程式の実数解の個数に帰着させます。
曲線 $C$ 上の点における接線の方程式を立て、それが点 $\mathrm{P}$ を通る条件から、接点の $x$ 座標 $t$ に関する3次方程式を導きます。
(1) ではこの3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件（極大値と極小値の積が負）を求めます。
(2) ではちょうど2つの実数解をもつ条件（極値のいずれかが $0$）から $a$ と $b$ の関係を決定し、2つの接点の座標を具体的に求めてベクトルの内積を利用して $\angle \mathrm{APB} < 90^\circ$ となる条件を計算します。

解法1

(1)

曲線 $C : y = x^3 - a^2x + a^3$ 上の点 $(t, t^3 - a^2t + a^3)$ における接線の方程式は、$y' = 3x^2 - a^2$ より

$$y - (t^3 - a^2t + a^3) = (3t^2 - a^2)(x - t)$$

$$y = (3t^2 - a^2)x - 2t^3 + a^3$$

この直線が点 $\mathrm{P}(b, 0)$ を通るため、次が成り立つ。

$$0 = (3t^2 - a^2)b - 2t^3 + a^3$$

$$2t^3 - 3bt^2 + a^2b - a^3 = 0$$

接線がちょうど3本引けるための条件は、この $t$ の3次方程式が異なる3つの実数解をもつことである。 $g(t) = 2t^3 - 3bt^2 + a^2b - a^3$ とおくと、

$$g'(t) = 6t^2 - 6bt = 6t(t - b)$$

$a, b$ は正の実数であるから $b > 0$ であり、$g(t)$ は $t = 0$ で極大、$t = b$ で極小となる。 $g(t) = 0$ が異なる3つの実数解をもつ条件は $g(0)g(b) < 0$ である。

$$g(0) = a^2b - a^3 = a^2(b - a)$$

$$g(b) = 2b^3 - 3b^3 + a^2b - a^3 = -b^3 + a^2b - a^3$$

したがって、求める条件は

$$a^2(b - a)(-b^3 + a^2b - a^3) < 0$$

$$a^2(b - a)(b^3 - a^2b + a^3) > 0$$

ここで、$h(b) = b^3 - a^2b + a^3 \ (b > 0)$ とおいて符号を調べる。

$$h'(b) = 3b^2 - a^2$$

$b > 0$ において $h'(b) = 0$ となるのは $b = \frac{a}{\sqrt{3}}$ のときである。 $h(b)$ は $0 < b < \frac{a}{\sqrt{3}}$ で単調に減少し、$b > \frac{a}{\sqrt{3}}$ で単調に増加するため、$b = \frac{a}{\sqrt{3}}$ で最小値をとる。その最小値は

$$h\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^3 - a^2\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) + a^3 = \frac{a^3}{3\sqrt{3}} - \frac{3a^3}{3\sqrt{3}} + a^3 = a^3\left(1 - \frac{2}{3\sqrt{3}}\right)$$

$a > 0$ であり、$3\sqrt{3} = \sqrt{27} > \sqrt{4} = 2$ より $1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} > 0$ であるから、最小値は正である。すなわち、$b > 0$ において常に $b^3 - a^2b + a^3 > 0$ が成り立つ。また、$a > 0$ より $a^2 > 0$ であるから、$g(0)g(b) < 0$ となる条件は

$$b - a > 0 \iff b > a$$

これと $a > 0, b > 0$ を合わせて、求める領域は「$ab$ 平面において $a > 0$ かつ $b > a$ を満たす領域」となる（境界は含まない）。

(2)

点 $\mathrm{P}$ から接線がちょうど2本引ける条件は、$g(t) = 0$ が異なる2つの実数解をもつこと、すなわち極値のいずれかが $0$ になることである。 (1) の結果より、$b > 0$ において $g(b) = -h(b) < 0$ であるため $g(b) \neq 0$ であり、条件は $g(0) = 0$ となる。

$$g(0) = a^2(b - a) = 0$$

$a > 0$ より $b = a$ である。このとき $g(t) = 0$ は

$$2t^3 - 3at^2 = 0$$

$$t^2(2t - 3a) = 0$$

よって $t = 0, \frac{3}{2}a$ となり、これが2つの接点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ の $x$ 座標である。曲線 $C : y = x^3 - a^2x + a^3$ 上の座標を求めると、

$t = 0$ のとき、$y = a^3$ $t = \frac{3}{2}a$ のとき、$y = \left(\frac{3}{2}a\right)^3 - a^2\left(\frac{3}{2}a\right) + a^3 = \frac{27}{8}a^3 - \frac{12}{8}a^3 + \frac{8}{8}a^3 = \frac{23}{8}a^3$

ゆえに、$\mathrm{P}(a, 0)$ であり、2つの接点は $\mathrm{A}(0, a^3), \mathrm{B}\left(\frac{3}{2}a, \frac{23}{8}a^3\right)$ とできる（順不同）。 $\angle \mathrm{APB} < 90^\circ$ となる条件は、内積 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}} > 0$ である。

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}} = (0 - a, a^3 - 0) = (-a, a^3)$$

$$\overrightarrow{\mathrm{PB}} = \left(\frac{3}{2}a - a, \frac{23}{8}a^3 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}a, \frac{23}{8}a^3\right)$$

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}} = -a \cdot \frac{1}{2}a + a^3 \cdot \frac{23}{8}a^3 = -\frac{1}{2}a^2 + \frac{23}{8}a^6$$

これが正となるから、

$$-\frac{1}{2}a^2 + \frac{23}{8}a^6 > 0$$

$$\frac{1}{8}a^2(23a^4 - 4) > 0$$

$a > 0$ より $a^2 > 0$ であるため、

$$23a^4 - 4 > 0$$

$$a^4 > \frac{4}{23}$$

$a > 0$ より、これを解いて

$$a > \sqrt[4]{\frac{4}{23}}$$

したがって、求める条件は $b = a$ かつ $a > \sqrt[4]{\frac{4}{23}}$ である。

解説

接線の本数問題における典型的な解法です。曲線外の点から引く接線の本数は、特別な場合（漸近線が存在するなど）を除き、接点の $x$ 座標についての導出方程式の「異なる実数解の個数」に一致します。極大値と極小値の積を利用して実数解の個数を判定する際、文字定数が含まれる式の符号を適切に処理できるかが問われています。本問の (1) では、極小値 $g(b)$ を構成する因数が常に負であることに気付けるかがポイントとなり、微分を用いて最小値を調べることで厳密に示すことができます。 (2) では「極値のどちらかが $0$」という条件から係数の関係式を定め、それを使って実際に接点の座標を求め、ベクトルの内積に持ち込むという幾何的な見方が求められます。