数学2 接線・不等式 問題 15 解説

方針・初手

点 $\text{P}$ から曲線 $y=x^2$ に引いた接線の接点を文字で置き、接線の方程式が点 $\text{P}$ を通るという条件から接点の $x$ 座標に関する2次方程式を立てる。 角 $\theta$ は2つの接線のなす角であるが、単なる2直線のなす鋭角ではなく、点 $\text{P}$ から各接点に向かうベクトルのなす角として考える必要がある。ベクトルの向きを正しく考慮して、正接の加法定理やベクトルの内積を用いて $\tan\theta$ を $t$ の関数として表す。

解法1

(1)

曲線 $y=x^2$ について $y'=2x$ である。 曲線上の点 $(s, s^2)$ における接線の方程式は、

$$y - s^2 = 2s(x - s) \iff y = 2sx - s^2$$

これが直線 $l$ 上の点 $\text{P}\left(t, \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\right)$ を通るから、

$$\frac{1}{2}t - \frac{1}{4} = 2st - s^2 \iff s^2 - 2ts + \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} = 0 \cdots \text{①}$$

$s$ についての2次方程式①の判別式を $D$ とすると、

$$\frac{D}{4} = t^2 - \left(\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\right) = \left(t - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{3}{16} > 0$$

よって、①はつねに異なる2つの実数解をもつ。これらを $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、接点 $\text{Q}, \text{R}$ の $x$ 座標が $\alpha, \beta$ となる。 解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = 2t \cdots \text{②}$$

$$\alpha\beta = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \cdots \text{③}$$

②より $t = \frac{\alpha + \beta}{2}$ であるから、$\alpha < t < \beta$ が成り立つ。 したがって、点 $\text{P}$ から接点 $\text{Q}(\alpha, \alpha^2)$ および $\text{R}(\beta, \beta^2)$ に向かうベクトルの $x$ 方向の増分は、それぞれ $\alpha - t < 0$、$\beta - t > 0$ である。 各接線の傾きは $2\alpha, 2\beta$ であるから、$x$ 軸の正の向きから $\vec{PQ}$ および $\vec{PR}$ に測った角をそれぞれ $\theta_1, \theta_2$ とおくと、増分の符号から $\frac{\pi}{2} < \theta_1 < \frac{3}{2}\pi$、$ -\frac{\pi}{2} < \theta_2 < \frac{\pi}{2}$ の範囲にとることができ、

$$\tan\theta_1 = 2\alpha, \quad \tan\theta_2 = 2\beta$$

図形的な関係より $\angle\text{QPR} = \theta = \theta_1 - \theta_2$ と表せるので、正接の加法定理より、

$$\tan\theta = \tan(\theta_1 - \theta_2) = \frac{\tan\theta_1 - \tan\theta_2}{1 + \tan\theta_1 \tan\theta_2} = \frac{2\alpha - 2\beta}{1 + 4\alpha\beta}$$

③より、分母は $1 + 4\alpha\beta = 1 + 4\left(\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\right) = 2t$ である（$t \neq 0$ より0にならない）。 また、分子について、

$$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (2t)^2 - 4\left(\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\right) = 4t^2 - 2t + 1$$

$\beta > \alpha$ より $\beta - \alpha = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}$ であるから、

$$\tan\theta = \frac{-2(\beta - \alpha)}{2t} = -\frac{\sqrt{4t^2 - 2t + 1}}{t}$$

(2)

(1)より、$\tan\theta$ を次のように変形する。

$$\tan\theta = -\sqrt{\frac{4t^2 - 2t + 1}{t^2}} = -\sqrt{4 - \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}} = -\sqrt{\left(\frac{1}{t} - 1\right)^2 + 3}$$

$\theta = \angle\text{QPR}$ であるから $0 < \theta < \pi$ である。 この範囲において、$\theta$ が最大となるのは $\theta$ が鈍角（$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$）のときであり、この区間で $\tan\theta$ は $\theta$ に関して単調増加である。 したがって、$\theta$ が最大となるのは $\tan\theta$ が最大となるときである。

根号の中身 $\left(\frac{1}{t} - 1\right)^2 + 3$ は、$\frac{1}{t} = 1$ すなわち $t = 1$ のとき、最小値 $3$ をとる。 このとき、$\tan\theta$ は最大値 $-\sqrt{3}$ をとる。

$0 < \theta < \pi$ において $\tan\theta = -\sqrt{3}$ を満たす角は $\theta = \frac{2}{3}\pi$ であり、これが $\theta$ の最大値である。 また、そのときの点 $\text{P}$ の座標は、$x = 1$ を直線 $l$ の方程式に代入して、

$$y = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$

よって、求める点 $\text{P}$ の座標は $\left(1, \frac{1}{4}\right)$ である。

解法2

(1)

（ベクトルの内積を用いる解法） 解法1と同様にして、点 $\text{P}$ の $x$ 座標が接点の $x$ 座標の間にあること（$\alpha < t < \beta$）を確認する。 これにより、$\vec{PQ}$ と同じ向きのベクトルとして $\vec{u} = (-1, -2\alpha)$、$\vec{PR}$ と同じ向きのベクトルとして $\vec{v} = (1, 2\beta)$ をとることができる。 $\theta$ は $\vec{u}$ と $\vec{v}$ のなす角であるから、内積の定義より、

$$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$

ここで、内積 $\vec{u} \cdot \vec{v}$ は、

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = -1 - 4\alpha\beta = -1 - (2t - 1) = -2t$$

また、$0 < \theta < \pi$ より $\sin\theta > 0$ であり、

$$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \frac{\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$

分子の根号の中身は、

$$\begin{aligned} |\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 &= (1 + 4\alpha^2)(1 + 4\beta^2) - (-1 - 4\alpha\beta)^2 \\ &= 1 + 4(\alpha^2 + \beta^2) + 16\alpha^2\beta^2 - (1 + 8\alpha\beta + 16\alpha^2\beta^2) \\ &= 4(\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2) \\ &= 4(\beta - \alpha)^2 \end{aligned}$$

よって、$\beta > \alpha$ より $\sqrt{4(\beta - \alpha)^2} = 2(\beta - \alpha)$ となり、

$$\sin\theta = \frac{2(\beta - \alpha)}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$

したがって、$\tan\theta$ は次のように求まる。

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{2(\beta - \alpha)}{-2t} = -\frac{\beta - \alpha}{t}$$

解法1と同様に $\beta - \alpha = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}$ を代入して、

$$\tan\theta = -\frac{\sqrt{4t^2 - 2t + 1}}{t}$$

（(2) は解法1と同一であるため省略する。）

解説

放物線の外側の点から引いた2接線のなす角を求める問題ですが、本問の最大の落とし穴は「角 $\theta$ が図形的な内角であること」にあります。 単純に「2直線のなす角」の公式 $\tan\phi = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ を使い、鋭角と決めつけてしまうと符号のミスに繋がります。点 $\text{P}$ の $x$ 座標 $t$ が、2つの接点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ の間にあることを確認し、$\text{P}$ から接点に向かうベクトルの向きを正しく考慮して $\tan\theta$ を決定することが重要です。

答え

(1)

$$\tan\theta = -\frac{\sqrt{4t^2 - 2t + 1}}{t}$$

(2)

$\theta$ の最大値：$\frac{2}{3}\pi$

点 $\text{P}$ の座標：$\left(1, \frac{1}{4}\right)$