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数学2 接線・不等式問題 17 解説

方針・初手

(1) $C_1$ と $C_2$ の式から $y$ を消去し、$x$ についての2次方程式が実数解をもたない条件を判別式で処理する。 (2) 微分を用いて $C_2$ の接線の傾きを求め、$l_1$ と平行であることから接点 $P_2$ の座標を特定する。 (3) 2点 $P_1, P_2$ を通る直線の傾きが $l_1$ の法線の傾きと一致する条件式を立て、(1) で求めた $a$ の条件を用いて解を絞り込む。

解法1

(1)

$C_1$ と $C_2$ の方程式から $y$ を消去する。

$$-x^2 + \frac{3}{2} = (x - a)^2 + a$$

これを整理する。

$$-x^2 + \frac{3}{2} = x^2 - 2ax + a^2 + a$$

$$2x^2 - 2ax + a^2 + a - \frac{3}{2} = 0$$

$C_1$ と $C_2$ が共有点をもたないための条件は、この $x$ についての2次方程式が実数解をもたないことである。判別式を $D$ とすると、$D < 0$ であればよい。

$$\frac{D}{4} = (-a)^2 - 2 \left( a^2 + a - \frac{3}{2} \right) = a^2 - 2a^2 - 2a + 3 = -a^2 - 2a + 3$$

したがって、不等式は次のようになる。

$$-a^2 - 2a + 3 < 0$$

$$a^2 + 2a - 3 > 0$$

$$(a + 3)(a - 1) > 0$$

問題の条件より $a > 0$ であるから、これを満たす $a$ の範囲は

$$a > 1$$

(2)

$C_1$ の方程式 $y = -x^2 + \frac{3}{2}$ を $x$ で微分すると

$$y' = -2x$$

よって、点 $P_1 \left( p, -p^2 + \frac{3}{2} \right)$ における接線 $l_1$ の傾きは $-2p$ である。

次に、$C_2$ の方程式 $y = (x - a)^2 + a$ を $x$ で微分すると

$$y' = 2(x - a)$$

接線 $l_2$ は $l_1$ と平行であるから、その傾きは $-2p$ である。$C_2$ と $l_2$ の接点 $P_2$ の $x$ 座標は

$$2(x - a) = -2p$$

$$x - a = -p$$

$$x = a - p$$

このとき、$P_2$ の $y$ 座標は

$$y = (a - p - a)^2 + a = p^2 + a$$

よって、接点 $P_2$ の座標は $\left( a - p, p^2 + a \right)$ である。

また、接線 $l_2$ は点 $P_2$ を通り、傾きが $-2p$ の直線であるから、その方程式は

$$y - (p^2 + a) = -2p \left( x - (a - p) \right)$$

$$y = -2px + 2p(a - p) + p^2 + a$$

$$y = -2px - p^2 + 2ap + a$$

(3)

線分 $P_1 P_2$ が $l_1$ と垂直に交わる条件を考える。

$p = 0$ のとき、$l_1$ の傾きは $0$ となり、$x$ 軸と平行になる。このとき線分 $P_1 P_2$ は $y$ 軸と平行（鉛直）にならなければならないため、$P_1$ と $P_2$ の $x$ 座標が等しくなる必要がある。

$$p = a - p$$

$p=0$ を代入すると $a=0$ となるが、これは (1) の条件 $a > 1$ に反するため不適である。よって $p \neq 0$ としてよい。

$P_1 \left( p, -p^2 + \frac{3}{2} \right)$、$P_2 \left( a - p, p^2 + a \right)$ を通る直線の傾きは

$$\frac{(p^2 + a) - \left( -p^2 + \frac{3}{2} \right)}{(a - p) - p} = \frac{2p^2 + a - \frac{3}{2}}{a - 2p}$$

この直線が傾き $-2p$ の接線 $l_1$ と垂直になるため、傾きの積が $-1$ となればよい。

$$-2p \cdot \frac{2p^2 + a - \frac{3}{2}}{a - 2p} = -1$$

$$2p \left( 2p^2 + a - \frac{3}{2} \right) = a - 2p$$

$$4p^3 + 2ap - 3p = a - 2p$$

$$4p^3 - p + 2ap - a = 0$$

左辺を因数分解する。

$$p(4p^2 - 1) + a(2p - 1) = 0$$

$$p(2p - 1)(2p + 1) + a(2p - 1) = 0$$

$$(2p - 1) \left\{ p(2p + 1) + a \right\} = 0$$

$$(2p - 1)(2p^2 + p + a) = 0$$

ここで、$2p^2 + p + a = 0$ が実数解をもつと仮定し、判別式を $D'$ とすると

$$D' = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 1 - 8a$$

(1) の結果より $a > 1$ であるから、$D' = 1 - 8a < 1 - 8 = -7 < 0$ となり、$2p^2 + p + a = 0$ を満たす実数 $p$ は存在しない。

したがって

$$2p - 1 = 0$$

$$p = \frac{1}{2}$$

このとき $a - 2p = a - 1 \neq 0$ となり、分母は $0$ にならないため適する。

解説

放物線の接線および2直線の平行・垂直条件を利用する標準的な微分法の問題である。 (2)では、$l_2$ が $C_2$ の接線であることと、$l_1$ と平行であること（傾きが等しいこと）から、接点 $P_2$ の $x$ 座標を先に求めるのが簡明である。 (3)では方程式の因数分解が鍵となる。$a$ の項とそれ以外の項で分けてくくりだすことで、$(2p - 1)$ という共通因数を見つけることができる。その後に出てくる2次方程式の処理において、(1)で求めた $a > 1$ の条件が活きてくる構成になっている。