数学2 接線・不等式 問題 18 解説

方針・初手

$C$ 上の点 $\text{P}$ および $\text{Q}$ における接線の傾きをそれぞれ $p, t$ を用いて表し、それらが直交するという条件から方程式を立てる。与えられた $p$ に対して、その方程式を満たす実数 $t$ が存在するための $p$ の条件を求める問題に帰着させる。

解法1

$f(x) = x^3 + 3x^2$ とおく。

$f'(x) = 3x^2 + 6x$ であるから、点 $\text{P}(p, q)$ における接線の傾きは $3p^2 + 6p$ 、点 $\text{Q}$ の $x$ 座標を $t$ とすると、点 $\text{Q}(t, t^3+3t^2)$ における接線の傾きは $3t^2 + 6t$ である。

$\text{P}$ と $\text{Q}$ における接線が直交するための条件は、傾きの積が $-1$ となることであるから、

$$(3p^2 + 6p)(3t^2 + 6t) = -1$$

が成り立つことである。条件を満たす点 $\text{Q}$ が存在するためには、この方程式を満たす実数 $t$ が存在すればよい。

まず、$3p^2 + 6p = 0$ すなわち $p = 0, -2$ のとき、左辺は $0$ となり等式を満たす実数 $t$ は存在しない。よって $p \neq 0, -2$ である。

このとき、直交条件の式は次のように変形できる。

$$3t^2 + 6t = -\frac{1}{3p^2 + 6p}$$

ここで、$t$ の関数 $g(t) = 3t^2 + 6t$ のとりうる値の範囲を考える。

$$g(t) = 3(t+1)^2 - 3$$

より、$g(t)$ は $t = -1$ で最小値 $-3$ をとるため、$g(t)$ の値域は $g(t) \ge -3$ である。

ゆえに、方程式を満たす実数 $t$ が存在するための条件は、

$$-\frac{1}{3p^2 + 6p} \ge -3$$

となることである。これを解くために移項して整理する。

$$3 - \frac{1}{3p(p+2)} \ge 0$$

$$\frac{9p(p+2) - 1}{3p(p+2)} \ge 0$$

$$\frac{9p^2 + 18p - 1}{p(p+2)} \ge 0$$

この不等式は、両辺に正の値である $p^2(p+2)^2$ を掛けることで、次のように同値変形できる。

$$p(p+2)(9p^2 + 18p - 1) \ge 0 \quad \text{かつ} \quad p(p+2) \neq 0$$

ここで、$9p^2 + 18p - 1 = 0$ を解くと、

$$p = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 9 \cdot (-1)}}{9} = \frac{-3 \pm \sqrt{10}}{3}$$

となる。

$\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$ より $3 < \sqrt{10} < 4$ であるから、各因数が $0$ となる $p$ の値の大小関係は、

$$\frac{-3 - \sqrt{10}}{3} < -2 < 0 < \frac{-3 + \sqrt{10}}{3}$$

となる。

したがって、不等式を満たす $p$ の範囲は、

$$p \le \frac{-3 - \sqrt{10}}{3}, \quad -2 < p < 0, \quad \frac{-3 + \sqrt{10}}{3} \le p$$

となる。

解説

3次関数の接線の傾きの取りうる値の範囲に着目する問題である。

3次関数の導関数は2次関数となるため、接線の傾きには最小値または最大値が存在する。本問では $y' = 3(x+1)^2 - 3 \ge -3$ となるため、接線の傾きが $-3$ 以上でなければならないという制約から不等式が導かれる。

分数不等式 $\frac{A}{B} \ge 0$ の解き方としては、$AB \ge 0$ かつ $B \neq 0$ と同値変形して解く方法が定石であり、グラフや数直線を用いて各因数の符号変化を捉えると間違いが少ない。

答え

$$p \le \frac{-3-\sqrt{10}}{3}, \quad -2 < p < 0, \quad \frac{-3+\sqrt{10}}{3} \le p$$