数学2 接線・不等式 問題 19 解説

方針・初手

(1) は、関数 $f(x)$ の第2次導関数 $f''(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもち、その解の差が $\sqrt{2}$ であるという条件を立式する。 (2) は、求めた $a$ を代入して関数の式を確定させる。点 $\text{P}, \text{Q}$ の $y$ 座標を直接計算するのは手間であるため、多項式の割り算を利用して次数下げを行い、直線 $\text{PQ}$ の方程式を求めると見通しがよい。 (3) は、変曲点における接線と曲線の交点に関する問題である。点 $\text{P}$ が変曲点であることから、曲線と接線が点 $\text{P}$ で3次の接触をする（方程式が3重解をもつ）ことに着目し、解と係数の関係を利用する。

解法1

(1)

$$f(x) = x^4 - 2(a+1)x^3 + 3ax^2$$

とおく。$f(x)$ を微分して、

$$f'(x) = 4x^3 - 6(a+1)x^2 + 6ax$$

$$f''(x) = 12x^2 - 12(a+1)x + 6a = 6\{2x^2 - 2(a+1)x + a\}$$

曲線 $C$ が2つの変曲点をもつ条件は、方程式 $f''(x) = 0$ すなわち $2x^2 - 2(a+1)x + a = 0$ が異なる2つの実数解をもつことである。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$\frac{D}{4} = (a+1)^2 - 2a = a^2 + 1$$

$a$ は実数であるから $a^2 + 1 > 0$ となり、常に異なる2つの実数解をもつ。$x^2$ の係数が正であるから、2つの解の前後で $f''(x)$ の符号は変化し、確かに変曲点となる。 これら2つの変曲点 $\text{P}, \text{Q}$ の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = a + 1, \quad \alpha\beta = \frac{a}{2}$$

条件より変曲点の $x$ 座標の差が $\sqrt{2}$ であるから $\beta - \alpha = \sqrt{2}$ であり、両辺を2乗して、

$$(\beta - \alpha)^2 = 2$$

$$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 2$$

$$(a+1)^2 - 4 \cdot \frac{a}{2} = 2$$

$$a^2 + 2a + 1 - 2a = 2$$

$$a^2 = 1$$

$a$ は正の実数であるから、$a = 1$ である。

(2)

(1) より $a = 1$ であるから、

$$f(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2$$

また、$\alpha, \beta$ は $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解である。解の公式より、

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$$

となるため、$\alpha = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}, \beta = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ である。 線分 $\text{PQ}$ の中点の $x$ 座標は $\frac{\alpha + \beta}{2} = 1$ である。 点 $\text{R}$ は曲線 $C$ 上の点で $x$ 座標が $1$ であるから、その $y$ 座標は $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ となる。したがって、点 $\text{R}$ の座標は $(1, 0)$ である。

次に、直線 $\text{PQ}$ の方程式を求める。$f(x)$ を $2x^2 - 4x + 1$ で割ると、

$$x^4 - 4x^3 + 3x^2 = (2x^2 - 4x + 1)\left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2}x - \frac{1}{4}$$

$\alpha, \beta$ は $2x^2 - 4x + 1 = 0$ を満たすので、

$$f(\alpha) = \frac{3}{2}\alpha - \frac{1}{4}, \quad f(\beta) = \frac{3}{2}\beta - \frac{1}{4}$$

これより、点 $\text{P}, \text{Q}$ は直線 $y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{4}$ 上にある。 線分 $\text{PQ}$ の中点を $\text{M}$ とすると、$\text{M}$ の $x$ 座標は $1$ であり、$y$ 座標は $\frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ となる。したがって、$\text{M}$ の座標は $\left(1, \frac{5}{4}\right)$ である。

三角形 $\text{PQR}$ の面積 $S$ は、線分 $\text{RM}$ を底辺とみて、2つの三角形 $\text{RMP}$ と $\text{RMQ}$ の面積の和として計算できる。

$$S = \triangle\text{RMP} + \triangle\text{RMQ} = \frac{1}{2} \cdot \text{RM} \cdot (1 - \alpha) + \frac{1}{2} \cdot \text{RM} \cdot (\beta - 1) = \frac{1}{2} \cdot \text{RM} \cdot (\beta - \alpha)$$

ここで $\text{RM} = \left| \frac{5}{4} - 0 \right| = \frac{5}{4}$ であり、$\beta - \alpha = \sqrt{2}$ であるから、

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$$

(3)

点 $\text{P}$ は曲線 $C$ の変曲点であるから、点 $\text{P}$ における接線 $l_{\text{P}}$ と曲線 $C$ は点 $\text{P}$ で3次の接触をする。すなわち、方程式 $f(x) - l_{\text{P}}(x) = 0$ は $x = \alpha$ で3重解をもつ。 $f(x) - l_{\text{P}}(x) = 0$ のもう1つの実数解が、接線 $l_{\text{P}}$ が $\text{P}$ 以外で $C$ と交わる点 $\text{P}'$ の $x$ 座標 $x_{\text{P}'}$ である。 $f(x) - l_{\text{P}}(x)$ は $x^4$ の係数が $1$ の4次式であるから、

$$f(x) - l_{\text{P}}(x) = (x - \alpha)^3 (x - x_{\text{P}'})$$

と因数分解できる。 左辺の $x^3$ の係数は、接線 $l_{\text{P}}(x)$ が1次以下の多項式であるため、$f(x)$ の $x^3$ の係数 $-4$ に等しい。 右辺を展開したときの $x^3$ の係数は $-3\alpha - x_{\text{P}'}$ であるから、係数を比較して、

$$-3\alpha - x_{\text{P}'} = -4 \iff x_{\text{P}'} = 4 - 3\alpha$$

同様に、点 $\text{Q}$ も変曲点であるから、点 $\text{Q}$ における接線が $\text{Q}$ 以外で $C$ と交わる点 $\text{Q}'$ の $x$ 座標 $x_{\text{Q}'}$ は、

$$x_{\text{Q}'} = 4 - 3\beta$$

よって、線分 $\text{P}'\text{Q}'$ の中点の $x$ 座標は、

$$\frac{x_{\text{P}'} + x_{\text{Q}'}}{2} = \frac{(4 - 3\alpha) + (4 - 3\beta)}{2} = \frac{8 - 3(\alpha + \beta)}{2}$$

(1) より $\alpha + \beta = 2$ であるから、中点の $x$ 座標は、

$$\frac{8 - 3 \cdot 2}{2} = 1$$

解法2

(3) の別解

曲線 $C$ を $x$ 軸方向に平行移動し、変曲点の中点の $x$ 座標が $0$ になるように工夫する。 $x = t + 1$ とおき、$g(t) = f(t+1)$ とすると、

$$\begin{aligned} g(t) &= (t+1)^4 - 4(t+1)^3 + 3(t+1)^2 \\ &= (t^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 1) - 4(t^3 + 3t^2 + 3t + 1) + 3(t^2 + 2t + 1) \\ &= t^4 - 3t^2 - 2t \end{aligned}$$

曲線 $y = g(t)$ において、2つの変曲点の $t$ 座標は $g''(t) = 12t^2 - 6 = 0$ より $t = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。 これらを $-u, u$ とおく。点 $\text{P}, \text{Q}$ に対応する点の $t$ 座標が $-u, u$ である。 点 $t = -u$ における接線が曲線と交わる点の $t$ 座標を $t_{\text{P}'}$ とすると、$g(t)$ の $t^3$ の係数が $0$ であることと解と係数の関係より、4つの解の和は $0$ となる。

$$(-u) + (-u) + (-u) + t_{\text{P}'} = 0 \implies t_{\text{P}'} = 3u$$

同様に、点 $t = u$ における接線が曲線と交わる点の $t$ 座標を $t_{\text{Q}'}$ とすると、

$$u + u + u + t_{\text{Q}'} = 0 \implies t_{\text{Q}'} = -3u$$

線分 $\text{P}'\text{Q}'$ の中点の $t$ 座標は $\frac{3u + (-3u)}{2} = 0$ である。 これを元の $x$ 座標に戻すと、$x = t + 1 = 0 + 1 = 1$ となる。

解説

(2) では4次関数上の2点を通る直線を求めているが、交点の $x$ 座標が無理数を含むため、そのまま代入すると計算が煩雑になる。「方程式 $P(x) = 0$ の解である」という条件を用いて多項式の割り算による次数下げを行うのは、頻出かつ強力な計算の工夫である。 (3) は「変曲点における接線と曲線の交点」がテーマである。変曲点において接線は曲線と交差するように振る舞い、代数的には「方程式が3重解をもつ」という性質を持つ。これと解と係数の関係を組み合わせることで、接線の具体的な方程式を求めることなく、簡潔に交点の $x$ 座標を導出することができる。

答え

(1) $a = 1$

(2) $\frac{5\sqrt{2}}{8}$

(3) $1$