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数学2 接線・不等式問題 20 解説

方針・初手

(1) については、まず点 $\mathrm{P}$ における接線 $\ell$ の方程式を微分を用いて求めます。その後、接線 $\ell$ と曲線 $C$ の方程式を連立し、交点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めます。3次方程式が $x = a$ で接することから $(x - a)^2$ を因数に持つことを利用すると、因数分解が容易に行えます。

(2) については、点 $\mathrm{Q}$ における接線の傾きを求め、直線 $\ell$ の傾きとの積が $-1$ になるという直交条件を立式します。導かれた式を $a^2$ の2次方程式とみなし、点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ が異なる点であることによる条件（$a \neq 0$ に伴う $a^2 > 0$）を満たす実数解が存在するような $k$ の範囲を求めます。

解法1

(1)

曲線 $C$ の方程式 $y = x^3 - kx$ を $y = f(x)$ とおく。導関数は $f'(x) = 3x^2 - k$ である。点 $\mathrm{P}(a, a^3 - ka)$ における接線 $\ell$ の傾きは $3a^2 - k$ となるため、直線 $\ell$ の方程式は以下のようになる。

$$y - (a^3 - ka) = (3a^2 - k)(x - a)$$

これを整理して、

$$y = (3a^2 - k)x - 2a^3$$

直線 $\ell$ と曲線 $C$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $x^3 - kx = (3a^2 - k)x - 2a^3$ の実数解である。移項して整理すると、

$$x^3 - 3a^2 x + 2a^3 = 0$$

直線 $\ell$ は $x = a$ で曲線 $C$ に接するため、左辺は $(x - a)^2$ を因数に持つ。

$$(x - a)^2 (x + 2a) = 0$$

点 $\mathrm{Q}$ は点 $\mathrm{P}$ と異なる交点であるから、$a \neq -2a$ すなわち $a \neq 0$ である。よって、点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標は $x = -2a$ と求まる。このとき、点 $\mathrm{Q}$ の $y$ 座標は、

$$y = (-2a)^3 - k(-2a) = -8a^3 + 2ka$$

したがって、点 $\mathrm{Q}$ の座標は $\mathrm{Q}(-2a, -8a^3 + 2ka)$ である。

(2)

点 $\mathrm{Q}$ における曲線 $C$ の接線の傾きは $f'(-2a) = 3(-2a)^2 - k = 12a^2 - k$ である。この接線が直線 $\ell$ と直交するため、それぞれの傾きの積は $-1$ となる。

$$(3a^2 - k)(12a^2 - k) = -1$$

展開して整理すると、

$$36a^4 - 15ka^2 + k^2 + 1 = 0$$

ここで、$a^2 = A$ とおく。(1)で確認したように $a \neq 0$ であるから、$A > 0$ である。上の式は $A$ についての2次方程式となる。

$$36A^2 - 15kA + k^2 + 1 = 0$$

題意を満たす実数 $k$ が存在するための条件は、この $A$ についての2次方程式が $A > 0$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つことである。 $g(A) = 36A^2 - 15kA + k^2 + 1$ とおくと、放物線 $y = g(A)$ の軸は直線 $A = \frac{15k}{72} = \frac{5k}{24}$ であり、$y$ 切片は $g(0) = k^2 + 1 > 0$ である。 $g(0) > 0$ であることから、この放物線が $A > 0$ の範囲で横軸と共有点を持つためには、軸が正の部分にあり、かつ頂点の $y$ 座標が $0$ 以下であればよい。したがって、次の2つの条件を同時に満たす必要がある。

(i) 軸が $A > 0$ の範囲にある。

$$\frac{5k}{24} > 0 \iff k > 0$$

(ii) $g(A) = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ である。

$$D = (-15k)^2 - 4 \cdot 36 \cdot (k^2 + 1) \geqq 0$$

$$225k^2 - 144k^2 - 144 \geqq 0$$

$$81k^2 \geqq 144$$

$$k^2 \geqq \frac{16}{9}$$

これを解くと、

$$k \leqq -\frac{4}{3}, \quad \frac{4}{3} \leqq k$$

(i) と (ii) の共通範囲をとって、求める $k$ の範囲は $k \geqq \frac{4}{3}$ となる。

解説

(1) では、3次関数とその接線の交点を求める計算が求られます。接点では重解をもつという性質を利用し、因数定理を用いるか、あるいは3次方程式の解と係数の関係（交点の $x$ 座標の和が $0$ であることから $a + a + x = 0 \iff x = -2a$）を用いると、計算を大幅に省略して交点の座標を出すことができます。

(2) では、「直交する」という図形的な条件を「傾きの積が $-1$」という代数的な条件に翻訳した後、$a^2$ に関する条件に帰着させるのがポイントです。$a \neq 0$ に注意して $a^2 > 0$ の範囲での解の配置問題（2次方程式の解の存在範囲）として処理する流れは、入試における典型的な定石です。