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数学2 接線・不等式問題 22 解説

方針・初手

(1) は指定された $a$ の値を代入し、微分して増減表を作成することで極値を求める。グラフは増減表をもとに極値と $y$ 切片を意識して特徴を捉える。

(2) は $x \geqq 0$ の範囲での $f(x)$ の最小値が $0$ 以上になればよいと考える。$f'(x)$ を求めて因数分解し、$a$ と $2$ の大小関係によって極小値をとる $x$ の位置が変わるため、場合分けを行って最小値を調べる。

解法1

(1)

$a=1$ のとき、$f(x)$ は次のようになる。

$$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$$

これを $x$ について微分する。

$$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 2$ のときである。

これをもとに $f(x)$ の増減表を作ると以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$6$	$\searrow$	$5$	$\nearrow$

増減表より、$f(x)$ は $x=1$ で極大値 $6$、$x=2$ で極小値 $5$ をとる。

また、$y$ 切片は $f(0) = 1$ である。

したがって、$y=f(x)$ のグラフは、点 $(0, 1)$ を通り、$x=1$ で極大、$x=2$ で極小となる右上がりの3次関数の曲線となる。（グラフの描画は省略する）

(2)

$f(x)$ を $x$ について微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= 6x^2 - 6(a+2)x + 12a \\ &= 6\{x^2 - (a+2)x + 2a\} \\ &= 6(x-a)(x-2) \end{aligned}$$

$x \geqq 0$ における $f(x)$ の最小値が $0$ 以上となるような $a$ の条件を求める。

$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ であるため、$x \geqq 0$ における最小値は、区間の左端 $x=0$ での値 $f(0)$ か、または $x \geqq 0$ の範囲内に存在する極小値のいずれかである。

$f'(x)$ の符号変化に着目し、$a$ と $2$ の大小関係で場合分けを行う。

(i) $a < 2$ のとき

$f'(x)$ の符号が負から正に変わるのは $x=2$ のときであるため、$x \geqq 0$ の範囲において $f(x)$ は $x=2$ で極小となる。

したがって、$x \geqq 0$ における $f(x)$ の最小値の候補は $f(0)$ または $f(2)$ である。

$x \geqq 0$ の範囲でつねに $f(x) \geqq 0$ となるためには、この両方が $0$ 以上であればよい。

$$f(0) = a \geqq 0$$

かつ

$$\begin{aligned} f(2) &= 16 - 12(a+2) + 24a + a \\ &= 13a - 8 \geqq 0 \end{aligned}$$

$13a - 8 \geqq 0$ より $a \geqq \frac{8}{13}$ となり、これは $a \geqq 0$ を満たす。

場合分けの条件 $a < 2$ とあわせて、次の範囲を得る。

$$\frac{8}{13} \leqq a < 2$$

(ii) $a \geqq 2$ のとき

$a = 2$ のときは $f'(x) = 6(x-2)^2 \geqq 0$ となり単調増加である。

$a > 2$ のときは、$f'(x)$ の符号が負から正に変わるのは $x=a$ のときであるため、$f(x)$ は $x=a$ で極小となる。

いずれの場合も、$x \geqq 0$ における $f(x)$ の最小値の候補は $f(0)$ または $f(a)$ である。

先ほどと同様に、両方が $0$ 以上であればよい。

$$f(0) = a \geqq 0$$

$a \geqq 2$ より、これはつねに成り立つ。

$$\begin{aligned} f(a) &= 2a^3 - 3a^2(a+2) + 12a^2 + a \\ &= -a^3 + 6a^2 + a \geqq 0 \end{aligned}$$

$a \geqq 2 > 0$ であるから、両辺を $a$ で割ると次のように変形できる。

$$\begin{aligned} -a^2 + 6a + 1 &\geqq 0 \\ a^2 - 6a - 1 &\leqq 0 \end{aligned}$$

$a^2 - 6a - 1 = 0$ の解は $a = 3 \pm \sqrt{10}$ であるから、不等式の解は次のようになる。

$$3 - \sqrt{10} \leqq a \leqq 3 + \sqrt{10}$$

ここで、$3 < \sqrt{10} < 4$ より $3 - \sqrt{10} < 0 < 2$ であるため、場合分けの条件 $a \geqq 2$ とあわせて次の範囲を得る。

$$2 \leqq a \leqq 3 + \sqrt{10}$$

(i), (ii) より、求める $a$ の値の範囲はこれらの和集合となる。

$$\frac{8}{13} \leqq a \leqq 3 + \sqrt{10}$$

解説

文字定数を含む3次関数の最小値に関する典型問題である。

(2)において、「すべての $x \geqq 0$ について $f(x) \geqq 0$」という条件を「（$x \geqq 0$ における $f(x)$ の最小値）$\geqq 0$」と言い換えるのが基本方針となる。

極値をとる $x$ の値が $2$ と $a$ の2つあるため、どちらが極大でどちらが極小になるか（あるいは極値をもたないか）によって場合分けが生じる。極小値が区間内に含まれる場合、最小値は「区間の端点」と「極小値」のいずれかになることを利用し、両方が $0$ 以上であるという条件を立式すると、大小比較の手間が省けて計算がスムーズに進む。