数学2 接線・不等式 問題 23 解説

方針・初手

曲線外の点から引いた接線の方程式を求めるため、まずは曲線上の点を接点として文字で置き、接線の方程式を立てる。それが指定された点を通る条件から接点の座標を求め、それぞれの接線における傾きの大小を比較して該当する接線を特定する。

解法1

(1) $f(x) = x^3 - 2x - 5$ とすると、$f'(x) = 3x^2 - 2$ である。 曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 - 2t - 5)$ における接線の方程式は、

$$y - (t^3 - 2t - 5) = (3t^2 - 2)(x - t)$$

すなわち、

$$y = (3t^2 - 2)x - 2t^3 - 5$$

この接線が点 $(3, 0)$ を通るから、

$$0 = (3t^2 - 2) \cdot 3 - 2t^3 - 5$$

整理すると、

$$2t^3 - 9t^2 + 11 = 0$$

$t = -1$ のとき、左辺は $2(-1)^3 - 9(-1)^2 + 11 = -2 - 9 + 11 = 0$ となるため、因数定理より左辺は $t+1$ を因数にもつ。

$$(t + 1)(2t^2 - 11t + 11) = 0$$

したがって、接点の $x$ 座標 $t$ は $t = -1, \frac{11 \pm \sqrt{33}}{4}$ である。 各接点における接線の傾き $3t^2 - 2$ を評価する。 $t = -1$ のとき、傾きは $3(-1)^2 - 2 = 1$ である。 $t = \frac{11 \pm \sqrt{33}}{4}$ のとき、$\sqrt{25} < \sqrt{33} < \sqrt{36}$ より $5 < \sqrt{33} < 6$ であるから、

$$\frac{11 - 6}{4} < \frac{11 - \sqrt{33}}{4} < \frac{11 - 5}{4} \iff \frac{5}{4} < t < \frac{3}{2}$$

$$\frac{11 + 5}{4} < \frac{11 + \sqrt{33}}{4} < \frac{11 + 6}{4} \iff 4 < t < \frac{17}{4}$$

いずれの場合も $|t| > \frac{5}{4} > 1$ であり、$t^2 > 1$ となる。 よって、$3t^2 - 2 > 3 \cdot 1 - 2 = 1$ となり、$t = -1$ のときよりも傾きは大きくなる。 以上より、傾きの値が最も小さい接線 $\ell$ は $t = -1$ のときの接線である。 $\ell$ の方程式は、$y = \{3(-1)^2 - 2\}x - 2(-1)^3 - 5$ に $t = -1$ を代入して、

$$y = x - 3$$

(2) 曲線 $C$ と接線 $\ell$ の共有点の $x$ 座標は、次の方程式の実数解である。

$$x^3 - 2x - 5 = x - 3$$

整理して、

$$x^3 - 3x - 2 = 0$$

接線 $\ell$ は $x = -1$ で曲線 $C$ と接するため、左辺は $(x+1)^2$ を因数にもつ。

$$(x + 1)^2 (x - 2) = 0$$

よって、$x = -1, 2$ となる。 接点以外の共有点の $x$ 座標は $x = 2$ であり、このとき $y = 2 - 3 = -1$ である。 したがって、求める点の座標は $(2, -1)$ である。

解説

接線の公式を用いて、曲線外の点から引いた接線を求める典型問題である。「接点を文字でおく」という基本動作が重要となる。 (1)では、3次方程式の解を求めたあと、無理数の評価を行って傾きの最小値を特定する部分で論理的な記述が求められる。無理数を直接代入して計算することも可能だが、値の範囲を絞り込むことで計算を大きく簡略化できる。 (2)では、曲線と接線の交点を求める際、接点 $x = \alpha$ では重解をもつため、方程式が $(x-\alpha)^2$ で割り切れるという性質を用いると因数分解が容易に行える。

答え

(1) $y = x - 3$

(2) $(2, -1)$