数学2 接線・不等式 問題 27 解説

方針・初手

2つの曲線がある共有点で共通の接線をもつための条件を立式する。 その共有点の $x$ 座標を $t$ とおいたとき、2つの関数の $x=t$ における「関数値が等しい」こと、および「微分係数（接線の傾き）が等しい」ことが必要十分条件となる。 これら2つの条件式を連立させ、変数 $t$ を消去して $a$ についての方程式を解く方針をとる。

解法1

2つの曲線をそれぞれ $y = f(x)$、 $y = g(x)$ とおく。

$$f(x) = x^3 + 2ax^2 - 3a^2x - 4$$

$$g(x) = ax^2 - 2a^2x - 3a$$

これらを $x$ で微分すると、以下のようになる。

$$f'(x) = 3x^2 + 4ax - 3a^2$$

$$g'(x) = 2ax - 2a^2$$

2曲線がある共有点で共通な接線をもつとき、その共有点の $x$ 座標を $t$ とすると、次の2つの条件が成り立つ。

$$\begin{cases} f(t) = g(t) \\ f'(t) = g'(t) \end{cases}$$

まず、 $f'(t) = g'(t)$ より

$$3t^2 + 4at - 3a^2 = 2at - 2a^2$$

式を整理して因数分解する。

$$3t^2 + 2at - a^2 = 0$$

$$(3t - a)(t + a) = 0$$

よって、$t = -a, \frac{a}{3}$ を得る。

次に、$f(t) = g(t)$ より

$$t^3 + 2at^2 - 3a^2t - 4 = at^2 - 2a^2t - 3a$$

式を整理すると、以下の関係式が得られる。

$$t^3 + at^2 - a^2t + 3a - 4 = 0 \quad \cdots (*)$$

ここで、$t$ の値によって場合分けを行う。

(i) $t = -a$ のとき

これを $(*)$ に代入すると

$$(-a)^3 + a(-a)^2 - a^2(-a) + 3a - 4 = 0$$

$$-a^3 + a^3 + a^3 + 3a - 4 = 0$$

$$a^3 + 3a - 4 = 0$$

因数定理を用いて左辺を因数分解する。

$$(a - 1)(a^2 + a + 4) = 0$$

$a$ は実数であり、$a^2 + a + 4 = \left( a + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{15}{4} > 0$ であるから、実数解は以下のようになる。

$$a = 1$$

(ii) $t = \frac{a}{3}$ のとき

これを $(*)$ に代入すると

$$\left( \frac{a}{3} \right)^3 + a\left( \frac{a}{3} \right)^2 - a^2\left( \frac{a}{3} \right) + 3a - 4 = 0$$

$$\frac{a^3}{27} + \frac{a^3}{9} - \frac{a^3}{3} + 3a - 4 = 0$$

両辺に $27$ を掛けて整理する。

$$a^3 + 3a^3 - 9a^3 + 81a - 108 = 0$$

$$5a^3 - 81a + 108 = 0$$

左辺に $a = 3$ を代入すると $5 \cdot 27 - 81 \cdot 3 + 108 = 135 - 243 + 108 = 0$ となるため、因数定理より左辺は $a - 3$ を因数にもつ。

$$(a - 3)(5a^2 + 15a - 36) = 0$$

$5a^2 + 15a - 36 = 0$ を解の公式を用いて解く。

$$a = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-36)}}{2 \cdot 5} = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 720}}{10} = \frac{-15 \pm \sqrt{945}}{10}$$

$945 = 9 \times 105$ であるから、次のように整理できる。

$$a = \frac{-15 \pm 3\sqrt{105}}{10}$$

これらは実数であるため条件を満たす。したがって、以下の解を得る。

$$a = 3, \frac{-15 \pm 3\sqrt{105}}{10}$$

(i)、(ii) より、これらをまとめたものが求める $a$ の値となる。

解説

2つの曲線が接するための基本条件「接点を共有し、かつその点での接線の傾きが等しい」ことを立式して処理する定石問題である。 微分の式から導かれる $f'(t) = g'(t)$ の方は $t$ に関する2次方程式となるため、因数分解によって $t$ を $a$ で表しやすくなっている。この結果を $f(t) = g(t)$ に代入して $a$ だけの方程式に帰着させるのが最も自然なアプローチである。 後半の $5a^3 - 81a + 108 = 0$ のような係数の大きい3次方程式が現れた際も、因数定理を信じて $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ と小さな整数を代入して解を探索する力が求められる。

答え

$$a = 1, 3, \frac{-15 \pm 3\sqrt{105}}{10}$$