数学2 カルダノの公式 問題 3 解説

方針・初手

(1) は $\omega$ が方程式 $x^3-1=0$ の実数ではない解であることを利用し、因数分解から得られる2次方程式から関係式を導く。

(2) は右辺を展開して左辺に一致することを示す。その際、(1) で求めた $\omega^2+\omega=-1$ と、解の定義から成り立つ $\omega^3=1$ を用いて次数を下げていく。

(3) は与えられた方程式を (2) の等式の左辺の形に見立てて係数比較を行い、$a, b$ の値を求める。求めた $a, b$ を (2) の右辺に代入することで解を得る、カルダノの公式の導出と同様の解法である。

解法1

(1) $x^3 - 1 = 0$ より、因数分解して

$$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$$

$\omega$ は1と異なる解であるから、$\omega - 1 \neq 0$ である。 したがって、$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解である。 よって、

$$\omega^2 + \omega + 1 = 0$$

ゆえに、

$$\omega^2 + \omega = -1$$

(2) 等式の右辺を展開する。

$$(x+a+b)(x+a\omega+b\omega^2)(x+a\omega^2+b\omega)$$

後半の2つの因数の積を計算すると、

$$\begin{aligned} & (x+a\omega+b\omega^2)(x+a\omega^2+b\omega) \\ &= x^2 + (a\omega^2+b\omega+a\omega+b\omega^2)x + (a\omega+b\omega^2)(a\omega^2+b\omega) \\ &= x^2 + \{a(\omega^2+\omega) + b(\omega+\omega^2)\}x + a^2\omega^3 + ab\omega^2 + ab\omega^4 + b^2\omega^3 \end{aligned}$$

ここで、(1) より $\omega^2+\omega = -1$ であり、また $\omega$ は $x^3=1$ の解であるから $\omega^3=1, \omega^4=\omega$ である。これらを代入すると、

$$\begin{aligned} &= x^2 + \{a(-1) + b(-1)\}x + a^2(1) + ab\omega^2 + ab\omega + b^2(1) \\ &= x^2 - (a+b)x + a^2 + b^2 + ab(\omega^2+\omega) \\ &= x^2 - (a+b)x + a^2 - ab + b^2 \end{aligned}$$

よって、右辺全体は次のように展開できる。

$$\begin{aligned} & (x+a+b) \{ x^2 - (a+b)x + (a^2 - ab + b^2) \} \\ &= x^3 - (a+b)x^2 + (a^2-ab+b^2)x + (a+b)x^2 - (a+b)^2x + (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ &= x^3 + \{ a^2 - ab + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2) \} x + (a^3 + b^3) \\ &= x^3 - 3abx + a^3 + b^3 \end{aligned}$$

したがって、左辺と一致し等式は示された。

(3) 与えられた方程式 $x^3 - 6x + 6 = 0$ と、(2) の等式の左辺 $x^3 - 3abx + a^3 + b^3 = 0$ の係数を比較する。

$$\begin{cases} -3ab = -6 \\ a^3 + b^3 = 6 \end{cases}$$

すなわち、

$$\begin{cases} ab = 2 \\ a^3 + b^3 = 6 \end{cases}$$

第1式の両辺を3乗して $a^3b^3 = 8$ を得る。よって、$a^3$ と $b^3$ は解と係数の関係より、次の $t$ についての2次方程式の解となる。

$$t^2 - 6t + 8 = 0$$

これを解くと、

$$(t-2)(t-4) = 0$$

$$t = 2, 4$$

対称性から $a^3 = 2, b^3 = 4$ としてよい。 これを満たす実数 $a, b$ を選ぶと、

$$a = \sqrt[3]{2}, \quad b = \sqrt[3]{4}$$

このとき、$ab = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2$ となり、$ab = 2$ も満たしている。 (2) の等式を利用すると、与えられた3次方程式は次のように因数分解される。

$$(x+a+b)(x+a\omega+b\omega^2)(x+a\omega^2+b\omega) = 0$$

よって、解は

$$x = -a-b, \quad -a\omega-b\omega^2, \quad -a\omega^2-b\omega$$

これに求めた $a, b$ を代入して、求める解は

$$x = -\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}, \quad -\sqrt[3]{2}\omega-\sqrt[3]{4}\omega^2, \quad -\sqrt[3]{2}\omega^2-\sqrt[3]{4}\omega$$

解説

• $\omega$ の性質 $\omega^3=1$ と $\omega^2+\omega+1=0$ を活用して式の次数を下げ、計算を簡略化する典型的な問題である。
• (2) で示された等式は、一般の3次方程式の解の公式（カルダノの公式）を導出する際の核心部分に相当する因数分解である。
• (3) では、連立方程式から $a^3$ と $b^3$ を解にもつ2次方程式を作るのが定石である。$a, b$ の組み合わせとして実数のみを採用することで、$\omega$ を含んだ複雑な場合分けや符号の調整を避けることができる。

答え

(1)

$$-1$$

(2) 証明は解説内に記載した。

(3)

$$x = -\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}, \quad -\sqrt[3]{2}\omega-\sqrt[3]{4}\omega^2, \quad -\sqrt[3]{2}\omega^2-\sqrt[3]{4}\omega$$