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京都大学 2016年文系第5問解説

方針・初手

実数係数の 3 次方程式が虚数解をもつとき、1 つの実数解と互いに共役な 2 つの虚数解をもつことを利用します。
これら 3 つの解をそれぞれ 3 乗したものが、元の解のどれに一致するかを過不足なく場合分けして調べます。

解法1

$f(x) = 0$ は実数係数の 3 次方程式であり、条件 (ロ) より虚数解をもつため、1 つの実数解と互いに共役な 2 つの虚数解をもつ。

実数解を $r$、虚数解を $\alpha,\ \bar{\alpha}$（$\alpha$ は虚数）とおく。

条件 (イ) より、解の 3 乗もまた解である。$r$ は実数であるから $r^3$ も実数であり、$f(x) = 0$ の実数解は $r$ のみであるから、

$$ r^3 = r \implies r(r^2 - 1) = 0 \implies r = 0,\ 1,\ -1 $$

また、$\alpha^3$ も解であるから、$\alpha^3$ は $r,\ \alpha,\ \bar{\alpha}$ のいずれかである。

(i) $\alpha^3 = \alpha$ の場合

$\alpha(\alpha^2 - 1) = 0$ より $\alpha = 0,\ 1,\ -1$ となるが、これらはすべて実数であり、$\alpha$ が虚数であることに矛盾。不適。

(ii) $\alpha^3 = r$ の場合

$r \in \{0,\ 1,\ -1\}$ のそれぞれを調べる。

$r = 0$ のとき：$\alpha^3 = 0$ より $\alpha = 0$ となり、虚数であることに矛盾。不適。
$r = 1$ のとき：$\alpha^3 = 1$ すなわち $(\alpha - 1)(\alpha^2 + \alpha + 1) = 0$。 $\alpha$ は虚数であるから $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ を満たす。 $\bar{\alpha}$ も同じ方程式の解であり、$(\bar{\alpha})^3 = \overline{\alpha^3} = 1 = r$ となるため条件を満たす。

$$ f(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 $$

$r = -1$ のとき：$\alpha^3 = -1$ すなわち $(\alpha + 1)(\alpha^2 - \alpha + 1) = 0$。 $\alpha$ は虚数であるから $\alpha^2 - \alpha + 1 = 0$ を満たす。同様に $(\bar{\alpha})^3 = -1 = r$ となり条件を満たす。

$$ f(x) = (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1 $$

(iii) $\alpha^3 = \bar{\alpha}$ の場合

両辺の絶対値をとると、$|\alpha|^3 = |\bar{\alpha}| = |\alpha|$。

よって $\bar{\alpha} = \dfrac{|\alpha|^2}{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha}$ となるから、$\alpha^3 = \bar{\alpha}$ に代入すると、

$$ \alpha^3 = \frac{1}{\alpha} \implies \alpha^4 = 1 \implies (\alpha^2 - 1)(\alpha^2 + 1) = 0 $$

$\alpha$ は虚数であるから $\alpha^2 + 1 = 0$ を満たし、$\alpha = \pm i$。

$\alpha = i$ のとき $(\pm i)^3 = \mp i$ より $i^3 = -i = \bar{\alpha}$（✓）かつ $(-i)^3 = i = \alpha$（✓）。

$f(x) = (x - r)(x^2 + 1)$ と表され、$r \in \{0,\ 1,\ -1\}$ に応じて、

$r = 0$ のとき：$f(x) = x(x^2 + 1) = x^3 + x$
$r = 1$ のとき：$f(x) = (x - 1)(x^2 + 1) = x^3 - x^2 + x - 1$
$r = -1$ のとき：$f(x) = (x + 1)(x^2 + 1) = x^3 + x^2 + x + 1$

以上で求めた 5 つの 3 次式は、いずれも虚数解をもち、解の 3 乗が再び解の集合に含まれるため、条件 (イ)、(ロ) を同時に満たす。

解説

方程式の解に関する条件から、関数の形を絞り込む問題です。実数係数の方程式が虚数解をもつとき、それらは必ず互いに共役なペアになるという基本性質が重要になります。

解の集合 $S = \{r,\ \alpha,\ \bar{\alpha}\}$ に対して、「どの要素を 3 乗しても $S$ の要素のどれかに一致する」という条件を漏れなく場合分けして処理できれば完答できます。特に、$\alpha^3 = \bar{\alpha}$ の場合は絶対値を利用して $|\alpha| = 1$ を導き、$\bar{\alpha} = 1/\alpha$ を用いて $\alpha^4 = 1$ へ帰着させる処理が鍵です。