東京大学 2019年 理系 第6問 解説

方針・初手

解と係数の関係を用いて、対称式の変形から条件を整理する。方程式が実数係数であることに着目し、虚数解をもつ場合は互いに共役なペアになる性質を利用して、4つの解の構成を場合分けして絞り込むのが初手である。また、(3)では $\alpha\beta + \gamma\delta$ と $\alpha+\beta$ の関係式を導くことで、軌跡の計算を大幅に簡略化できる。

解法1

(1)

与えられた4次方程式 $z^4 - 2z^3 - 2az + b = 0$ は実数係数であるから、虚数解をもつ場合は必ず互いに共役な複素数の組となる。 したがって、相異なる4つの解 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ の構成は次のいずれかである。

（A） 4つとも実数 （B） ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な虚数 （C） 4つとも虚数（2組の互いに共役な虚数）

$w = \alpha\beta + \gamma\delta$ とおく。 条件3より $w$ は純虚数（実部は $0$ であり、虚部は $0$ でない）である。

（A） の場合、$w$ は実数同士の和と積で構成されるため実数となり、条件3に反する。

（C） の場合、2組の共役な虚数を $z, \bar{z}$ と $v, \bar{v}$ とする。 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ はこれらの並べ替えであるから、$w$ の値の候補は以下の3通りである。

$$ w = z\bar{z} + v\bar{v} = |z|^2 + |v|^2 $$

$$ w = zv + \bar{z}\bar{v} = zv + \overline{zv} $$

$$ w = z\bar{v} + \bar{z}v = z\bar{v} + \overline{z\bar{v}} $$

いずれの場合も $w$ は自身の共役複素数と等しくなるため実数となり、条件3に反する。

以上より、（A） と （C） は不適であり、（B） の「ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数である」ことが示された。

(2)

(1) の結果より、4つの解を実数 $r_1, r_2$、虚数 $c, \bar{c}$（$c$ の虚部は $0$ でない）とする。 $w = \alpha\beta + \gamma\delta$ が純虚数となるような $\alpha, \beta$ の組を考える。 $\{\alpha, \beta\} = \{r_1, r_2\}$ のとき、$w = r_1 r_2 + c\bar{c} = r_1 r_2 + |c|^2$ となり実数であるから不適である。 $\{\alpha, \beta\} = \{c, \bar{c}\}$ のとき、$w = |c|^2 + r_1 r_2$ となり実数であるから不適である。 よって、$\{\alpha, \beta\}$ は実数と虚数の組でなければならず、対称性から $\{\alpha, \beta\} = \{r_1, c\}, \{\gamma, \delta\} = \{r_2, \bar{c}\}$ としても一般性を失わない。 このとき、$w = r_1 c + r_2 \bar{c}$ である。 $w$ は純虚数であるから、$w + \bar{w} = 0$ が成り立つ。

$$ w + \bar{w} = (r_1 c + r_2 \bar{c}) + (r_1 \bar{c} + r_2 c) = (r_1 + r_2)(c + \bar{c}) = 0 $$

したがって、$r_1 + r_2 = 0$ または $c + \bar{c} = 0$ である。 ここで、与えられた4次方程式は解を用いて次のように2つの2次方程式の積に因数分解できる。

$$ z^4 - 2z^3 - 2az + b = \{z^2 - (r_1+r_2)z + r_1 r_2\}\{z^2 - (c+\bar{c})z + c\bar{c}\} $$

$s = r_1+r_2, p = r_1 r_2$ および $t = c+\bar{c}, q = c\bar{c}$ とおくと、右辺は $(z^2 - sz + p)(z^2 - tz + q)$ となる。 これを展開して両辺の係数を比較すると、以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} s + t = 2 \\ p + q + st = 0 \\ sq + tp = 2a \\ pq = b \end{cases} $$

先ほど導いた条件より $st = 0$ であるから、以下の2つの場合分けが生じる。

(i)

$s = 0$ のとき $s+t = 2$ より $t = 2$ である。 $p+q+st = 0$ に代入すると $p+q = 0 \iff q = -p$ となる。 $sq+tp = 2a$ に代入すると $2p = 2a \iff p = a$ となり、$q = -a$ を得る。 このとき、$b = pq = a(-a) = -a^2$ である。

(ii)

$t = 0$ のとき $s+t = 2$ より $s = 2$ である。 $p+q+st = 0$ に代入すると $p+q = 0 \iff p = -q$ となる。 $sq+tp = 2a$ に代入すると $2q = 2a \iff q = a$ となり、$p = -a$ を得る。 このときも、$b = pq = -a(a) = -a^2$ である。

いずれの場合においても、$b = -a^2$ となる。

(3)

$u = \alpha + \beta$ とおく。 解と係数の関係より、4つの解の和と2つの解の積の和は以下のようになる。

$$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma + \delta = 2 \\ \alpha\beta + \alpha\gamma + \alpha\delta + \beta\gamma + \beta\delta + \gamma\delta = 0 \end{cases} $$

第1式より $\gamma + \delta = 2 - u$ である。 第2式は次のように変形できる。

$$ (\alpha\beta + \gamma\delta) + (\alpha+\beta)(\gamma+\delta) = 0 $$

$w = \alpha\beta + \gamma\delta$ を代入すると、

$$ w + u(2 - u) = 0 \iff w = u^2 - 2u $$

条件3より、$w$ は純虚数である。 複素数平面上で $u = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、

$$ \begin{aligned} w &= (x + yi)^2 - 2(x + yi) \\ &= (x^2 - y^2 - 2x) + i(2xy - 2y) \end{aligned} $$

$w$ が純虚数となる条件は、実部が $0$ かつ虚部が $0$ でないことであるから、

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 - 2x = 0 \\ 2y(x - 1) \neq 0 \end{cases} $$

第1式を変形すると $(x - 1)^2 - y^2 = 1$ となる。 第2式より $y \neq 0$ かつ $x \neq 1$ である。 $y \neq 0$ のとき、第1式から $(x - 1)^2 = y^2 + 1 > 1$ となるため自動的に $x \neq 1$ を満たし、さらに $x - 1 < -1$ または $x - 1 > 1$ すなわち $x < 0$ または $x > 2$ となる。

最後に、これらの $u$ が条件1（4解が相異なる）を満たす実数 $a$ のもとで実際に存在するか確認する。

（2）の （i） の場合（$s=0, t=2, p=a, q=-a$）、実数解は $z^2 + a = 0$ の解であり、虚数解は $z^2 - 2z - a = 0$ の解である。これらがそれぞれ相異なる実数解と虚数解をもつ条件は $a < 0$ かつ $1 - (-a) < 0 \iff a < -1$ である。このとき $u = \pm\sqrt{-a} + 1 \pm i\sqrt{-a-1}$ となり、実部 $x = 1 \pm \sqrt{-a}$ は $a < -1$ に伴って $x < 0, x > 2$ のすべての実数を動く。

（2）の （ii） の場合（$s=2, t=0, p=-a, q=a$）、実数解は $z^2 - 2z - a = 0$ の解であり、虚数解は $z^2 + a = 0$ の解である。これらが条件を満たすのは $1 - (-a) > 0$ かつ $a > 0 \iff a > 0$ である。このとき $u = 1 \pm \sqrt{1+a} \pm i\sqrt{a}$ となり、実部 $x = 1 \pm \sqrt{1+a}$ は $a > 0$ に伴って $x < 0, x > 2$ のすべての実数を動く。

したがって、複素数 $\alpha + \beta$ がとりうる範囲は、双曲線 $(x - 1)^2 - y^2 = 1$ のうち $x < 0$ および $x > 2$ を満たす部分全体である。

解説

実数係数方程式の解の共役性や、解と係数の関係といった基本的な性質を組み合わせて解き進める総合的な問題である。特に (3) においては、対称式 $\alpha\beta + \alpha\gamma + \dots$ を $(\alpha\beta + \gamma\delta) + (\alpha+\beta)(\gamma+\delta)$ と見なすことで計算量を劇的に減らすことができる。力任せに計算すると文字式が煩雑になるため、複素数の実部・虚部を通した論理的な絞り込みがカギとなる。

答え

(1)

4つの解のうち 2 つは実数であり、残り 2 つは互いに共役な虚数である。

(2)

$b = -a^2$

(3)

複素数平面上で $\alpha + \beta = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおいたとき、とりうる範囲は双曲線 $(x - 1)^2 - y^2 = 1$ のうち、実部が $x < 0$ または $x > 2$ を満たす部分。（図示する場合は、中心が $(1,0)$、頂点が $(0,0)$ と $(2,0)$ で漸近線が $y = \pm(x-1)$ となる双曲線をかき、頂点を含まない左右の曲線部分を実線とする）