東北大学 2013年 理系 第1問 解説

方針・初手

$f(x)$ の解を $\alpha,\beta,\gamma$ としているので，まず $f(x)$ に対して解と係数の関係を用いる。

すると $\alpha+\beta+\gamma,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\ \alpha\beta\gamma$ が $k$ で表せる。 $g(x)$ の解は $\alpha\beta,\beta\gamma,\gamma\alpha$ であるから，これらの和・積・2つずつの積の和を求めれば $g(x)$ が決まる。

（2） では，共通解を $t$ とおいて $f(t)=0,\ g(t)=0$ を連立し，差をとるのが最短である。

解法1

$f(x)=x^3-kx^2-1$ の3つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とする。

解と係数の関係より，

$$ \alpha+\beta+\gamma=k,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0,\qquad \alpha\beta\gamma=1 $$

である。

（1） $g(x)$ を求める

$g(x)$ の解は $\alpha\beta,\ \beta\gamma,\ \gamma\alpha$ であり，$x^3$ の係数は $1$ である。

したがって，まずこれらの和を求めると，

$$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0 $$

である。

次に，2つずつの積の和は

$$ \begin{aligned} (\alpha\beta)(\beta\gamma)+(\beta\gamma)(\gamma\alpha)+(\gamma\alpha)(\alpha\beta) &=\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) \\ &=1\cdot k \\ &=k \end{aligned} $$

である。

また，3つの積は

$$ (\alpha\beta)(\beta\gamma)(\gamma\alpha) =(\alpha\beta\gamma)^2 =1 $$

である。

よって，解と係数の関係から

$$ g(x)=x^3-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x^2+{(\alpha\beta)(\beta\gamma)+(\beta\gamma)(\gamma\alpha)+(\gamma\alpha)(\alpha\beta)}x-(\alpha\beta)(\beta\gamma)(\gamma\alpha) $$

であるから，

$$ g(x)=x^3+kx-1 $$

となる。

（2） $f(x)=0,\ g(x)=0$ が共通解をもつような $k$

共通解を $t$ とする。すると

$$ f(t)=t^3-kt^2-1=0 $$

かつ

$$ g(t)=t^3+kt-1=0 $$

である。

この2式の差をとると，

$$ (t^3-kt^2-1)-(t^3+kt-1)=0 $$

より

$$ -k(t^2+t)=0 $$

すなわち

$$ k,t(t+1)=0 $$

を得る。

ここで場合分けする。

(i)

$k=0$ のとき

$$ f(x)=x^3-1,\qquad g(x)=x^3-1 $$

となるので，明らかに共通解をもつ。

(ii)

$k\neq 0$ のとき

$$ t(t+1)=0 $$

より $t=0$ または $t=-1$ である。

しかし $t=0$ は

$$ f(0)=-1,\qquad g(0)=-1 $$

より共通解ではない。

したがって $t=-1$ でなければならない。このとき

$$ f(-1)=-1-k-1=-k-2 $$

であるから，$f(-1)=0$ より

$$ k=-2 $$

を得る。実際，このとき

$$ g(-1)=-1+(-2)(-1)-1=0 $$

であり，確かに共通解をもつ。

以上より，求める $k$ は

$$ k=0,\ -2 $$

である。

解説

この問題の本質は，$\alpha,\beta,\gamma$ そのものを求めることではなく，対称式を処理することである。

特に

$$ (\alpha\beta)(\beta\gamma)+(\beta\gamma)(\gamma\alpha)+(\gamma\alpha)(\alpha\beta) =\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) $$

という変形が重要である。ここで $f(x)$ の係数から $\alpha\beta\gamma=1,\ \alpha+\beta+\gamma=k$ がすぐ使える。

また （2） では，共通解を直接求めにいくのではなく，$f(t)=0$ と $g(t)=0$ の差をとることで条件が一気に絞られる。3次式どうしでも，差をとると2次以下に落ちるので，共通解問題では有効な手筋である。

答え

$$ \text{(1)}\quad g(x)=x^3+kx-1 $$

$$ \text{(2)}\quad k=0,\ -2 $$