数学2 カルダノの公式 問題 2 解説

方針・初手

(1) 与えられた $\alpha$ の式をそのまま3乗すると計算が煩雑になるため、$A = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7}$、$B = \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$ と置き、展開公式 $(A-B)^3 = A^3 - B^3 - 3AB(A-B)$ を利用して $\alpha^3$ を計算する。

(2) (1)で得られた関係式は $\alpha$ に関する3次方程式となる。これを解き、$\alpha$ が実数であることを踏まえて $\alpha$ の値を決定する。

解法1

(1)

$A = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7}$、$B = \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$ とおくと、$\alpha = A - B$ である。

$\alpha$ を3乗すると、

$$\begin{aligned} \alpha^3 &= (A - B)^3 \\ &= A^3 - B^3 - 3AB(A - B) \\ &= A^3 - B^3 - 3AB\alpha \end{aligned}$$

となる。ここで、$A^3$、$B^3$、$AB$ の値をそれぞれ計算する。

$$\begin{aligned} A^3 &= 5\sqrt{2} + 7 \\ B^3 &= 5\sqrt{2} - 7 \end{aligned}$$

より、

$$A^3 - B^3 = (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7) = 14$$

である。また、

$$\begin{aligned} AB &= \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} \\ &= \sqrt[3]{(5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7)} \\ &= \sqrt[3]{(5\sqrt{2})^2 - 7^2} \\ &= \sqrt[3]{50 - 49} \\ &= \sqrt[3]{1} \\ &= 1 \end{aligned}$$

である。これらを $\alpha^3$ の式に代入すると、

$$\alpha^3 = 14 - 3 \cdot 1 \cdot \alpha$$

$$\alpha^3 = -3\alpha + 14$$

となる。

(2)

(1)の結果より、$\alpha$ は次の3次方程式を満たす。

$$\alpha^3 + 3\alpha - 14 = 0$$

左辺を因数分解する。$\alpha = 2$ のとき $2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$ となることから、因数定理より左辺は $\alpha - 2$ を因数にもつ。

$$(\alpha - 2)(\alpha^2 + 2\alpha + 7) = 0$$

ここで、$\alpha^2 + 2\alpha + 7 = (\alpha + 1)^2 + 6$ であり、$(\alpha + 1)^2 \geqq 0$ より、すべての実数 $\alpha$ に対して $\alpha^2 + 2\alpha + 7 > 0$ である。

また、$5\sqrt{2} + 7$ と $5\sqrt{2} - 7$ は実数であるから、それらの3乗根である $\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7}$ と $\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$ も実数である。したがって、それらの差である $\alpha$ も実数である。

ゆえに、$\alpha - 2 = 0$ すなわち $\alpha = 2$ に限られる。

$2$ は整数であるから、$\alpha$ は整数であることが示された。

解説

3乗根の和や差で表された数が、実は有理数や整数になることを示す典型問題である。まともに3乗根を外そうとするのではなく、まとまりを文字で置いて3次方程式を作成するアプローチが有効である。

因数分解した後の2次式の因数が実数解を持たないことを示す際、実数の平方の和の形（平方完成）にして常に正であることを記述すると、論理に飛躍がない。さらに、元の式から $\alpha$ が実数であることを明記しておくことで、より厳密な解答となる。

答え

(1)

$$\alpha^3 = -3\alpha + 14$$

(2) (1)より導かれる方程式 $\alpha^3 + 3\alpha - 14 = 0$ の実数解を求めると $\alpha = 2$ となり、$\alpha$ が整数であることが示された。