数学2 複素数 問題 1 解説

方針・初手

与えられた等式を $A+Bi=0$（$A, B$ は実数）の形に整理し、複素数の相等条件 $A=0$ かつ $B=0$ を利用して連立方程式を立てる。

解法1

与えられた等式を展開し、実部と虚部について整理する。

$$(1-i)a^2 + a - b(1+i) = 0$$

$$a^2 - a^2 i + a - b - bi = 0$$

$$(a^2 + a - b) + (-a^2 - b)i = 0$$

$a, b$ は実数であるから、$a^2 + a - b$ および $-a^2 - b$ も実数である。したがって、複素数の相等条件より以下の連立方程式が成り立つ。

$$a^2 + a - b = 0 \quad \cdots (1)$$

$$-a^2 - b = 0 \quad \cdots (2)$$

(2) より、$b = -a^2$ である。これを (1) に代入して整理する。

$$a^2 + a - (-a^2) = 0$$

$$2a^2 + a = 0$$

$$a(2a + 1) = 0$$

これを解くと、$a = 0, -\frac{1}{2}$ となる。

$a = 0$ のとき、$b = -0^2 = 0$ となり、組 $(a, b) = (0, 0)$ を得る。これは問題文に示されている組と一致する。

$a = -\frac{1}{2}$ のとき、$b = -\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{1}{4}$ となる。

したがって、求めるもう一つの組は $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ である。

解説

複素数の等式を扱う標準的な問題である。等式の中に未知数が含まれており、それらが実数であるという条件が与えられている場合、式を実部と虚部に整理してそれぞれを $0$ とおくのが定石である。答案を作成する際は、複素数の相等条件を適用する前提として、「実部と虚部がともに実数である」という断りを必ず記述する必要がある。

答え

① $-\frac{1}{2}$

② $-\frac{1}{4}$