数学2 複素数 問題 2 解説

方針・初手

虚数単位 $i$ の累乗が持つ周期性に注目する。連続する整数の指数を持つ $i$ の累乗を4項足し合わせると和が $0$ になる性質を利用して計算を工夫するか、等比数列の和の公式を用いて直接計算する。

解法1

与えられた式は、初項 $i$、公比 $i$ の等比数列の初項から第50項までの和である。

ここで、連続する4つの項の和を考えると、

$$i + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i + 1 = 0$$

となる。

求める和の項数は $50$ であり、$50 = 4 \times 12 + 2$ であるから、和は最初の2項と、それに続く4項ずつ12組のまとまりに分けることができる。

したがって、求める和を $S$ とおくと、

$$S = i + i^2 + (i^3 + i^4 + i^5 + i^6) + \cdots + (i^{47} + i^{48} + i^{49} + i^{50})$$

ここで、$k$ を自然数として、一般に連続する4項の和は

$$i^{4k-1} + i^{4k} + i^{4k+1} + i^{4k+2} = i^{4k-1} (1 + i + i^2 + i^3) = i^{4k-1} \cdot 0 = 0$$

となるため、カッコでくくった4項の和はすべて $0$ となる。

ゆえに、

$$S = i + i^2 = i - 1$$

実部と虚部を整理して、$-1 + i$ である。

解法2

初項 $i$、公比 $i$、項数 $50$ の等比数列の和の公式を用いて計算する。 求める和を $S$ とおくと、

$$S = \frac{i (1 - i^{50})}{1 - i}$$

ここで、$i^{50}$ を計算する。$i^4 = 1$ であるから、

$$i^{50} = i^{4 \times 12 + 2} = (i^4)^{12} \cdot i^2 = 1^{12} \cdot (-1) = -1$$

これを $S$ の式に代入する。

$$S = \frac{i \{1 - (-1)\}}{1 - i} = \frac{2i}{1 - i}$$

分母を実数化するために、分母・分子に $(1 + i)$ を掛ける。

$$S = \frac{2i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}$$

$$S = \frac{2i + 2i^2}{1^2 - i^2}$$

$i^2 = -1$ より、

$$S = \frac{2i - 2}{1 - (-1)} = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$$

解説

虚数単位 $i$ を扱う計算問題である。$i$ の累乗は $i, -1, -i, 1$ の4つを周期的に繰り返す性質があり、このことから連続する4項の和が $0$ になる。この性質を利用する解法1が計算量が少なくミスも起きにくいため推奨される。

等比数列の和の公式を用いる解法2も自然な発想であるが、最後に複素数の分母の実数化（共役な複素数を掛ける）を行う手間がかかる点に注意が必要である。

答え

$-1 + i$