数学2 複素数問題 16 解説

方針・初手

与えられた方程式の係数に虚数 $i$ が含まれているため、実数係数の2次方程式のように判別式 $D$ を用いて実数解の条件を議論することはできない。

方程式が実数解をもつという条件が与えられているので、その実数解を $x = \alpha$ （$\alpha$ は実数）とおいて方程式に代入する。その後、式を $A + Bi = 0$ （$A, B$ は実数）の形に整理し、複素数の相等条件（$A = 0$ かつ $B = 0$）を利用して連立方程式を立てるのが基本方針である。

解法1

方程式がもつ実数解の1つを $x = \alpha$ （$\alpha$ は実数）とおく。

これを方程式に代入すると、

$$(a+i)\alpha^2 + 2(1+i)\alpha + 1+ai = 0$$

左辺を実部と虚部に分けて整理すると、

$$(a\alpha^2 + 2\alpha + 1) + (\alpha^2 + 2\alpha + a)i = 0$$

$a, \alpha$ は実数であるから、$a\alpha^2 + 2\alpha + 1$ と $\alpha^2 + 2\alpha + a$ も実数である。複素数の相等より、

$$\begin{cases} a\alpha^2 + 2\alpha + 1 = 0 \quad \cdots ① \\ \alpha^2 + 2\alpha + a = 0 \quad \cdots ② \end{cases}$$

① $-$ ② を計算して $\alpha$ の1次以上の項をまとめると、

$$(a-1)\alpha^2 + 1 - a = 0$$

$$(a-1)(\alpha^2 - 1) = 0$$

これより、$a = 1$ または $\alpha^2 = 1$ すなわち $\alpha = \pm 1$ を得る。それぞれの場合について調べる。

(i) $a = 1$ のとき

①、②はともに $\alpha^2 + 2\alpha + 1 = 0$ となる。

$$(\alpha + 1)^2 = 0$$

これを解くと $\alpha = -1$ となり、実数解をもつため適する。このとき、もとの方程式に $a = 1$ を代入すると、

$$(1+i)x^2 + 2(1+i)x + 1+i = 0$$

$1+i \neq 0$ であるから両辺を $1+i$ で割ると、

$$x^2 + 2x + 1 = 0$$

$$(x+1)^2 = 0$$

よって、このときの解は $x = -1$ である。

(ii) $\alpha = 1$ のとき

②に代入すると、

$$1^2 + 2\cdot 1 + a = 0$$

$$a = -3$$

このとき①に $a = -3, \alpha = 1$ を代入すると、$-3\cdot 1^2 + 2\cdot 1 + 1 = 0$ となり成立する。したがって、$a = -3$ は適する。このとき、もとの方程式に $a = -3$ を代入すると、

$$(-3+i)x^2 + 2(1+i)x + 1-3i = 0$$

$x = 1$ を解にもつことから、左辺は $x - 1$ を因数にもつ。因数分解すると、

$$(x - 1)\{(-3+i)x - (1-3i)\} = 0$$

$x = 1$ 以外のもう一つの解は、

$$x = \frac{1-3i}{-3+i} = \frac{(1-3i)(-3-i)}{(-3+i)(-3-i)} = \frac{-3 - i + 9i - 3}{(-3)^2 - i^2} = \frac{-6 + 8i}{10} = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$$

よって、このときの解は $x = 1, -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$ である。

(iii) $\alpha = -1$ のとき

②に代入すると、

$$(-1)^2 + 2\cdot (-1) + a = 0$$

$$1 - 2 + a = 0$$

$$a = 1$$

これは (i) の場合と同じであるため、同様に解は $x = -1$ となる。

以上より、求める実数 $a$ の値と、そのときの方程式の解は決定される。