数学2 複素数 問題 15 解説

注意

画像の問題文に「$x$ を $w^2 + w + 1 = 0$ を満たす複素数とするとき」とあるが、文脈から「$w$ を $w^2 + w + 1 = 0$ を満たす複素数とするとき」の誤植であると判断し、以下解答解説を作成する。

方針・初手

(1) $w^3 - 1$ の因数分解の公式を利用するか、条件式 $w^2 + w + 1 = 0$ から $w^2 = -w - 1$ として次数下げを行うことで示す。

(2) (1)で示した $w^3 = 1$ と、条件の $w^2 + w + 1 = 0$ を用いて展開式の次数を下げていく。対称性に注意しながら整理すると計算の見通しが良くなる。

解法1

(1)

$w^3 - 1$ を因数分解すると、次のようになる。

$$w^3 - 1 = (w - 1)(w^2 + w + 1)$$

仮定より $w^2 + w + 1 = 0$ であるから、

$$w^3 - 1 = (w - 1) \cdot 0 = 0$$

よって、$w^3 = 1$ であることが示された。

(2)

(1)より $w^3 = 1$ であるから、$w^4 = w^3 \cdot w = w$ となる。 したがって、式 $P$ の第3因数は $a + bw^2 + cw$ と書き換えられる。 まず、後ろの2つの因数の積を展開する。

$$(a + bw + cw^2)(a + cw + bw^2)$$

$$= a^2 + acw + abw^2 + abw + bcw^2 + b^2w^3 + acw^2 + c^2w^3 + bcw^4$$

ここで $w^3 = 1$、$w^4 = w$ を代入して項を整理すると、

$$= a^2 + ab(w + w^2) + bc(w^2 + w) + ca(w + w^2) + b^2 + c^2$$

仮定 $w^2 + w + 1 = 0$ より $w^2 + w = -1$ であるから、これを代入する。

$$= a^2 - ab - bc - ca + b^2 + c^2$$

$$= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$$

よって、式 $P$ は次のように計算できる。

$$P = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$

$$= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$$

解法2

(1) についての別解

仮定 $w^2 + w + 1 = 0$ より、$w^2 = -w - 1$ である。 この両辺に $w$ を掛けると、

$$w^3 = -w^2 - w$$

右辺に再び $w^2 = -w - 1$ を代入すると、

$$w^3 = -(-w - 1) - w$$

$$= w + 1 - w$$

$$= 1$$

よって、$w^3 = 1$ であることが示された。

解説

1の3乗根を $\omega$（オメガ）とおいたときの性質を利用する典型問題である（本問では文字として $w$ が使われている）。 $w^3 = 1$ および $w^2 + w + 1 = 0$ を用いて、高い次数のものを低い次数へと変形していくのが基本的なアプローチとなる。 また、(2)の最後の展開で現れる式 $(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ は非常に重要な乗法公式および因数分解公式であるため、結果を知識として持っておくと計算ミスを防ぎやすくなる。

答え

(1)

解説中の通り。

(2)

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$