数学2 因数定理･剰余の定理 問題 1 解説

方針・初手

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ であることに着目する。 2次式で割り切れるという条件の処理として、主に以下の3つのアプローチが考えられる。

1. 恒等式を立てて係数を比較する。
2. 導関数を用いて $P(1)=0, P'(1)=0$ の条件を処理する。
3. 実際に割り算（または組立除法）を実行し、余りを $0$ とする。

解法1

整式 $x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ が $x^2 - 2x + 1$ で割り切れるとき、その商は2次式である。 最高次（$x^4$）の係数が $1$ であり、定数項が $-6$、割る式の定数項が $1$ であることから、商は $x^2 + cx - 6$ （$c$ は定数）とおける。

恒等式として次が成り立つ。

$$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6 = (x^2 - 2x + 1)(x^2 + cx - 6)$$

右辺を展開して整理する。

$$\begin{aligned} (x^2 - 2x + 1)(x^2 + cx - 6) &= x^2(x^2 + cx - 6) - 2x(x^2 + cx - 6) + (x^2 + cx - 6) \\ &= x^4 + cx^3 - 6x^2 - 2x^3 - 2cx^2 + 12x + x^2 + cx - 6 \\ &= x^4 + (c - 2)x^3 - (2c + 5)x^2 + (c + 12)x - 6 \end{aligned}$$

両辺の係数を比較して、以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} a = c - 2 & \cdots (1) \\ a = -(2c + 5) & \cdots (2) \\ b = c + 12 & \cdots (3) \end{cases}$$

(1) と (2) から $a$ を消去する。

$$c - 2 = -2c - 5$$

これを解いて $c = -1$ を得る。 $c = -1$ を (1), (3) に代入して $a, b$ の値を求める。

$$\begin{aligned} a &= -1 - 2 = -3 \\ b &= -1 + 12 = 11 \end{aligned}$$

解法2

$P(x) = x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ とおく。 $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ であるから、$P(x)$ が $(x - 1)^2$ で割り切れるための必要十分条件は、$P(1) = 0$ かつ $P'(1) = 0$ である。

まず、$P(1) = 0$ より、

$$1 + a + a + b - 6 = 0$$

整理して、

$$2a + b - 5 = 0 \quad \cdots (1)$$

次に、$P(x)$ を $x$ で微分する。

$$P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2ax + b$$

$P'(1) = 0$ より、

$$4 + 3a + 2a + b = 0$$

整理して、

$$5a + b + 4 = 0 \quad \cdots (2)$$

(1) と (2) の連立方程式を解く。(2) - (1) より、

$$3a + 9 = 0$$

よって、$a = -3$ を得る。 これを (1) に代入する。

$$2(-3) + b - 5 = 0$$

よって、$b = 11$ を得る。

解法3

実際に $P(x) = x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ を $x - 1$ で2回割る（組立除法を用いる）。

1回目（$x - 1$ で割る）：

$$\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & a & a & b & -6 \\ & & 1 & a+1 & 2a+1 & 2a+b+1 \\ \hline & 1 & a+1 & 2a+1 & 2a+b+1 & 2a+b-5 \end{array}$$

余りが $0$ となる必要があるため、

$$2a + b - 5 = 0 \quad \cdots (1)$$

2回目（商をさらに $x - 1$ で割る）：

$$\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & a+1 & 2a+1 & 2a+b+1 \\ & & 1 & a+2 & 3a+3 \\ \hline & 1 & a+2 & 3a+3 & 5a+b+4 \end{array}$$

余りが $0$ となる必要があるため、

$$5a + b + 4 = 0 \quad \cdots (2)$$

(1), (2) は解法2で得た連立方程式と完全に一致する。 これを解いて、$a = -3, b = 11$ を得る。

解説

整式が $(x - \alpha)^2$ で割り切れるという条件を処理する典型問題である。 解法1の係数比較法は、商の次数や定数項が予測しやすい場合に非常に有効である。未知数を少なく設定できるため、計算ミスを防ぎやすい。 解法2の微分を用いる方法は、式が複雑な場合や次数が高い場合でも機械的に処理できる強力な手法である。 解法3の組立除法を繰り返す方法は、原理がシンプルであり、式の割り算を視覚的かつ素早く実行できる。 いずれの方法でも解けるようにしておくことが望ましい。

答え

$a = -3$

$b = 11$