数学2 因数定理･剰余の定理 問題 2 解説

方針・初手

多項式の割り算を実行し、商と余りを求める。割る式が $1$ 次式であるから、余りは定数となる。筆算による割り算をそのまま実行するか、あるいは式変形によって $(2x+1) \times (\text{商}) + (\text{余り})$ の形を作り出すのが基本である。

解法1

与えられた整式 $2x^4 + 7x^3 + 3x^2 + 2x - 6$ について、順次 $2x+1$ のくくり出しを行う。

最高次の項 $2x^4$ を消去するためには $x^3(2x+1) = 2x^4+x^3$ を利用すればよい。

$$\begin{aligned} 2x^4 + 7x^3 + 3x^2 + 2x - 6 &= (2x^4 + x^3) + 6x^3 + 3x^2 + 2x - 6 \\ &= x^3(2x + 1) + 6x^3 + 3x^2 + 2x - 6 \end{aligned}$$

次に、$6x^3$ を消去するために $3x^2(2x+1) = 6x^3+3x^2$ を利用する。

$$\begin{aligned} x^3(2x + 1) + (6x^3 + 3x^2) + 2x - 6 &= x^3(2x + 1) + 3x^2(2x + 1) + 2x - 6 \\ &= (x^3 + 3x^2)(2x + 1) + 2x - 6 \end{aligned}$$

残りの $2x - 6$ について、$1(2x+1) = 2x+1$ を利用して変形する。

$$\begin{aligned} (x^3 + 3x^2)(2x + 1) + (2x + 1) - 7 &= (x^3 + 3x^2 + 1)(2x + 1) - 7 \end{aligned}$$

以上の式変形により、元の整式は次のように表される。

$$2x^4 + 7x^3 + 3x^2 + 2x - 6 = (2x + 1)(x^3 + 3x^2 + 1) - 7$$

これより、商は $x^3 + 3x^2 + 1$、余りは $-7$ である。

解法2

組立除法を用いて計算する。

$2x + 1 = 2 \left( x + \frac{1}{2} \right)$ であるため、まずは元の整式を $x + \frac{1}{2}$ で割ったときの商と余りを求める。

係数を並べて $-\frac{1}{2}$ で組立除法を行うと、以下のようになる。

$$\begin{array}{r|rrrrr} -\frac{1}{2} & 2 & 7 & 3 & 2 & -6 \\ & & -1 & -3 & 0 & -1 \\ \hline & 2 & 6 & 0 & 2 & -7 \end{array}$$

この結果から、元の整式を $x + \frac{1}{2}$ で割った商は $2x^3 + 6x^2 + 2$、余りは $-7$ と分かる。よって、次のように表せる。

$$2x^4 + 7x^3 + 3x^2 + 2x - 6 = \left( x + \frac{1}{2} \right)(2x^3 + 6x^2 + 2) - 7$$

右辺の第 $1$ 項において、後ろの括弧から $2$ をくくり出し、前の括弧にかける。

$$\begin{aligned} \left( x + \frac{1}{2} \right) \cdot 2(x^3 + 3x^2 + 1) - 7 &= (2x + 1)(x^3 + 3x^2 + 1) - 7 \end{aligned}$$

したがって、商は $x^3 + 3x^2 + 1$、余りは $-7$ である。

解説

整式の割り算の基本問題である。解法1のように筆算と同じ原理を式変形で示すか、通常の筆算を書いて解けばよい。

解法2の組立除法は計算が速くミスの少ない優れた手法であるが、$ax+b$ ($a \neq 1$) で割る場合の扱いに注意が必要である。組立除法で直接得られる商は、あくまで $x + \frac{b}{a}$ で割ったときの商である。そのため、得られた商をさらに $a$ で割らなければならない。この最後の処理を忘れてしまう受験生が多いため、組立除法を用いる際は「何を何で割った結果が出力されているのか」を正確に把握しておく必要がある。

答え

商: $x^3 + 3x^2 + 1$

余り: $-7$