大阪大学 2008年 文系 第2問 解説

方針・初手

与えられた3次式 $P(x)$ の因数分解と解の条件 $\alpha + \gamma = 2\beta$ から、解と係数の関係を利用して解の1つを特定することが初手となる。その後、特定した解を方程式に代入して $b$ を $a$ で表し、残りの解についての条件から $a$ の範囲を求める。

解法1

(1)

3次方程式 $P(x) = 0$ の3つの解が $\alpha, \beta, \gamma$ であるから、解と係数の関係より以下の等式が成り立つ。

$$ \alpha + \beta + \gamma = -3a $$

問題の条件より $\alpha + \gamma = 2\beta$ である。これを上の式に代入すると、

$$ 2\beta + \beta = -3a $$

$$ 3\beta = -3a $$

$$ \beta = -a $$

$\beta$ は $P(x) = 0$ の解であるから、$P(\beta) = P(-a) = 0$ が成り立つ。これを与式に代入する。

$$ (-a)^3 + 3a(-a)^2 + 3a(-a) + b = 0 $$

$$ -a^3 + 3a^3 - 3a^2 + b = 0 $$

$$ 2a^3 - 3a^2 + b = 0 $$

したがって、$b$ を $a$ の式で表すと次のようになる。

$$ b = -2a^3 + 3a^2 $$

(2)

(1)より $P(x) = 0$ は $x = -a$ を解にもつため、$P(x)$ は $x + a$ を因数にもつ。$P(x)$ を $x + a$ で割って因数分解すると、

$$ P(x) = (x + a)(x^2 + 2ax - 2a^2 + 3a) $$

となる。$\alpha, \beta, \gamma$ がすべて実数であるための条件は、$\beta = -a$ が実数であることに加え、残りの2解 $\alpha, \gamma$ が実数であることである。

実数 $a$ に対して $\beta = -a$ は常に実数である。$\alpha, \gamma$ は2次方程式 $x^2 + 2ax - 2a^2 + 3a = 0$ の解であるから、この2次方程式が実数解をもてばよい。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ が条件となる。

$$ \frac{D}{4} = a^2 - 1 \cdot (-2a^2 + 3a) \ge 0 $$

$$ 3a^2 - 3a \ge 0 $$

$$ 3a(a - 1) \ge 0 $$

これを解いて、$a$ のとりうる値の範囲は以下の通りとなる。

$$ a \le 0, \quad 1 \le a $$

(3)

(1)および(2)より、$f(a) = -2a^3 + 3a^2$ であり、定義域は $a \le 0, \quad 1 \le a$ である。

$f(a)$ を $a$ で微分すると、

$$ f'(a) = -6a^2 + 6a = -6a(a - 1) $$

$f'(a) = 0$ となるのは $a = 0, 1$ のときである。定義域における増減は以下のようになる。

$a < 0$ のとき $f'(a) < 0$ より、単調減少。 $a > 1$ のとき $f'(a) < 0$ より、単調減少。

極値および端点の値は、 $f(0) = 0$ $f(1) = -2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 = 1$

以上より、$a$ が $a \le 0, \quad 1 \le a$ の範囲を動くときの関数 $b = f(a)$ のグラフは、以下の図のようになる。

（グラフの形状：点 $(0,0)$ を右端とする単調減少の曲線と、点 $(1,1)$ を左端とする単調減少の曲線。$0 < a < 1$ の部分は実線で描かない。）

解説

解と係数の関係を用いて、条件式から具体的な解を1つ見つけ出すことが第一の関門である。解の1つがわかれば、因数定理を用いて3次方程式を1次式と2次式の積に分解でき、残りの解の条件は2次方程式の判別式に帰着させることができる。

(2)で「すべて実数」とあるが、異なる実数とは指定されていないため、重解を許容することに注意し、判別式の条件は $D > 0$ ではなく $D \ge 0$ とする必要がある。

(3)は定義域付きの関数のグラフを描く問題である。増減を調べ、範囲外の部分を点線にするなどして明確に区別することが求められる。

答え

(1)

$b = -2a^3 + 3a^2$

(2)

$a \le 0, \quad 1 \le a$

(3)

座標平面上に横軸を $a$ 軸、縦軸を $b$ 軸として、曲線 $b = -2a^3 + 3a^2$ のうち $a \le 0$ および $a \ge 1$ の部分を描いたもの。（点 $(0,0)$ および $(1,1)$ を含み、それぞれから左上、右下へ伸びる曲線となる。）