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北海道大学 2009年文系第1問解説

方針・初手

(1) では $P(\gamma) = 0$ を満たす $a, b$ を求める。多項式 $P(x)$ が実数係数であることに着目し、虚数解 $\gamma$ をもつならばその共役複素数 $\bar{\gamma}$ も解になるという性質を利用して因数分解の形から係数比較を行う方針（解法1）と、$\gamma$ の累乗を計算して直接代入し、実部と虚部に分けて比較する方針（解法2）が考えられる。

(2) では (1) で求めた情報をもとに $P(x)$ を因数分解し、$P(x) = 0$ の残りの解を求める。解法1の過程で商が求まっているため、そこから2次方程式を解くことで容易に導出できる。

解法1

(1)

実数係数の多項式 $P(x)$ について、$P(\gamma) = 0$ となることから、$\gamma = 1 + \sqrt{3}i$ の共役複素数 $\bar{\gamma} = 1 - \sqrt{3}i$ も $P(x) = 0$ の解となる。したがって、$P(x)$ は $(x - \gamma)(x - \bar{\gamma})$ で割り切れる。

ここで、

$$ (x - \gamma)(x - \bar{\gamma}) = x^2 - (\gamma + \bar{\gamma})x + \gamma\bar{\gamma} = x^2 - 2x + 4 $$

であるから、$P(x)$ は $x^2 - 2x + 4$ で割り切れる。商は2次式であり、$P(x)$ の最高次の係数が $1$ であることから、商を $x^2 + px + q$ （$p, q$ は実数）とおける。

$$ P(x) = (x^2 - 2x + 4)(x^2 + px + q) $$

右辺を展開して整理すると、

$$ x^4 + (p - 2)x^3 + (q - 2p + 4)x^2 + (4p - 2q)x + 4q $$

これが $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 8(\sqrt{3}+1)x + 16$ と恒等的に等しいので、各次数の係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} p - 2 = a \\ q - 2p + 4 = b \\ 4p - 2q = -8(\sqrt{3} + 1) \\ 4q = 16 \end{cases} $$

第4式より $q = 4$ を得る。これを第3式に代入して、

$$ 4p - 8 = -8\sqrt{3} - 8 $$

$$ 4p = -8\sqrt{3} \iff p = -2\sqrt{3} $$

求めた $p, q$ を第1式、第2式に代入して $a, b$ を求める。

$$ a = -2\sqrt{3} - 2 $$

$$ b = 4 - 2(-2\sqrt{3}) + 4 = 8 + 4\sqrt{3} $$

(2)

(1) の結果より、$P(x)$ は次のように因数分解される。

$$ P(x) = (x^2 - 2x + 4)(x^2 - 2\sqrt{3}x + 4) $$

$P(x) = 0$ となるのは、

$$ x^2 - 2x + 4 = 0 \quad \text{または} \quad x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0 $$

を満たすときである。 $x^2 - 2x + 4 = 0$ を解くと、$x = 1 \pm \sqrt{3}i$ となる。 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$ を解くと、$x = \sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4} = \sqrt{3} \pm i$ となる。

求めるものは $\gamma = 1 + \sqrt{3}i$ 以外の解であるから、該当する複素数 $x$ は以下の3つである。

$$ x = 1 - \sqrt{3}i, \quad \sqrt{3} + i, \quad \sqrt{3} - i $$

解法2

(1) の別解

$\gamma = 1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表すと、

$$ \gamma = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) $$

となる。ド・モアブルの定理を用いて、$\gamma^2, \gamma^3, \gamma^4$ を計算する。

$$ \gamma^2 = 4 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = -2 + 2\sqrt{3}i $$

$$ \gamma^3 = 8 (\cos \pi + i \sin \pi) = -8 $$

$$ \gamma^4 = 16 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) = 16 \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = -8 - 8\sqrt{3}i $$

これらを $P(\gamma) = 0$ の式に代入する。

$$ (-8 - 8\sqrt{3}i) + a(-8) + b(-2 + 2\sqrt{3}i) - 8(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3}i) + 16 = 0 $$

展開して実部と虚部に分けて整理する。ここで $-8(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3}i) = -8 \{ \sqrt{3} + 3i + 1 + \sqrt{3}i \} = -8(\sqrt{3} + 1) - 8(\sqrt{3} + 3)i$ であることに注意する。

$$ \{ -8 - 8a - 2b - 8(\sqrt{3} + 1) + 16 \} + i \{ -8\sqrt{3} + 2\sqrt{3}b - 8(\sqrt{3} + 3) \} = 0 $$

$$ (-8a - 2b - 8\sqrt{3}) + i (2\sqrt{3}b - 16\sqrt{3} - 24) = 0 $$

$a, b$ は実数であるから、実部と虚部はそれぞれ $0$ となる。

$$ \begin{cases} -8a - 2b - 8\sqrt{3} = 0 \\ 2\sqrt{3}b - 16\sqrt{3} - 24 = 0 \end{cases} $$

第2式より、両辺を $2\sqrt{3}$ で割って、

$$ b - 8 - 4\sqrt{3} = 0 \iff b = 8 + 4\sqrt{3} $$

これを第1式に代入して、

$$ -8a - 2(8 + 4\sqrt{3}) - 8\sqrt{3} = 0 $$

$$ -8a = 16 + 16\sqrt{3} \iff a = -2 - 2\sqrt{3} $$

解説

実数係数の方程式が虚数解をもつとき、その共役複素数も解になるという性質を利用できるかが鍵となる。解法1のように $(x - \gamma)(x - \bar{\gamma})$ を因数にもつことを利用すると、複素数の計算を最小限に抑えられ、かつ (2) への繋がりも良いため効率的である。解法2のように直接代入する場合でも、極形式とド・モアブルの定理を活用することで計算ミスのリスクを減らすことができる。