数学2 高次方程式 問題 1 解説

方針・初手

与えられた2つの方程式の条件を数式で表現する。第1の方程式には解 $x=1$ を代入し、第2の方程式については「解と係数の関係」を用いることで、$a, b, c$ に関する連立方程式を立てる。

解法1

方程式 $6x^3 - cx^2 + ax + b = 0$ の解の1つが $x=1$ であるから、これを代入して、

$$6 \cdot 1^3 - c \cdot 1^2 + a \cdot 1 + b = 0$$

整理すると、

$$a + b - c + 6 = 0 \quad \cdots \text{(1)}$$

が成り立つ。

また、$a, b$ は 2次方程式 $x^2 - 2x - c = 0$ の解であるから、解と係数の関係より、

$$a + b = 2 \quad \cdots \text{(2)}$$

$$ab = -c \quad \cdots \text{(3)}$$

が成り立つ。

式(2)を式(1)に代入すると、

$$2 - c + 6 = 0$$

となり、これより、

$$c = 8$$

を得る。

この $c=8$ を式(3)に代入すると、

$$ab = -8 \quad \cdots \text{(4)}$$

となる。式(2)および式(4)より、$a, b$ は $t$ についての2次方程式 $t^2 - 2t - 8 = 0$ の2つの解である。この2次方程式を解くと、

$$(t - 4)(t + 2) = 0$$

より、

$$t = -2, 4$$

となる。したがって、$(a, b) = (-2, 4), (4, -2)$ のいずれかである。

ここで、条件 $a < b$ より、

$$a = -2, \quad b = 4$$

に定まる。

以上より、$a = -2, b = 4, c = 8$ であり、問題文の形式に合わせると ア$=2$、イ$=4$、ウ$=8$ となる。

解説

「解が与えられている」場合は代入して等式を作る、「2次方程式の2解が文字で与えられている」場合は解と係数の関係を用いる、という基本手筋を組み合わせる典型的な連立方程式の問題である。後半で和と積が分かっている2数を求める際にも、新たな2次方程式を作成する手法が有効である。

答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 8