数学2 高次方程式問題 2 解説

方針・初手

$f(x)$ を因数分解し、$f(x)=0$ の解を具体的に $m$ を用いて表す。その後、「$f(4)>0$」の条件と「$0$ 以外の解がすべて相異なる正の整数となる」という条件から、$m$ の満たすべき不等式や値の範囲を求めて絞り込む。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = x^4 - (m+3)x^3 + (3m+2)x^2 - 2mx$$

まず、共通因数 $x$ でくくる。

$$f(x) = x \{ x^3 - (m+3)x^2 + (3m+2)x - 2m \}$$

波括弧の中の式を $g(x) = x^3 - (m+3)x^2 + (3m+2)x - 2m$ とおく。 $x=1$ を代入すると、

$$\begin{aligned} g(1) &= 1^3 - (m+3)\cdot 1^2 + (3m+2)\cdot 1 - 2m \\ &= 1 - m - 3 + 3m + 2 - 2m \\ &= 0 \end{aligned}$$

となるため、因数定理により $g(x)$ は $x-1$ を因数にもつ。 $g(x)$ を $x-1$ で割ると、

$$g(x) = (x-1)(x^2 - (m+2)x + 2m)$$

さらに、右側の2次式は $(x-2)(x-m)$ と因数分解できるため、最終的に $f(x)$ は次のように因数分解される。

$$f(x) = x(x-1)(x-2)(x-m)$$

これより、$f(x)=0$ の解は $x=0, 1, 2, m$ となる。問題の条件より、$0$ 以外の解すなわち $1, 2, m$ は「すべて相異なる正の整数」でなければならない。したがって、$m$ が満たすべき条件は、正の整数であり、かつ既存の解と被らないことである。

$$m \text{ は正の整数かつ } m \neq 1, 2$$

次に、$f(4)>0$ という条件を考える。先ほど因数分解した式に $x=4$ を代入すると、

$$\begin{aligned} f(4) &= 4 \cdot (4-1) \cdot (4-2) \cdot (4-m) \\ &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (4-m) \\ &= 24(4-m) \end{aligned}$$

$f(4) > 0$ であるから、

$$24(4-m) > 0$$

よって、以下の不等式を得る。

$$m < 4$$

以上より、$m$ は $m < 4$ を満たす正の整数であり、かつ $m \neq 1, 2$ である。これを満たす $m$ の値は $3$ のみである。

解説

高次方程式の因数分解と、解の条件からの文字定数の決定という標準的な問題である。まずは与えられた式を因数分解して方程式の解を具体的に求めることが第一歩である。文字が含まれていても、$x=1$ や $x=2$ など簡単な値を代入して $0$ になるものを見つけ、因数定理を活用するのが基本方針となる。条件をすべて書き出し、見落としのないように絞り込めばよい。