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数学2 高次方程式問題 66 解説

方針・初手

(1)は、正接の加法定理 $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ を用いて展開する。

(2)は、$\frac{\pi}{8}$ や $\frac{3}{8}\pi$ を2倍すると有名角になることに着目し、(1)で導いた $\tan(2\theta)$ の公式を利用して2次方程式を立てる。

(3)は、方程式の係数と(2)の結果を見比べることで、$\tan(3\theta)$ の公式の形が隠れていることを見抜くのが鍵である。(1)(2)の誘導を最大限に活用する。

解法1

(1)

加法定理より、

$$\begin{aligned} \tan(2\theta) &= \tan(\theta + \theta) \\ &= \frac{\tan\theta + \tan\theta}{1 - \tan\theta\tan\theta} \\ &= \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \end{aligned}$$

さらに、$\tan(3\theta) = \tan(2\theta + \theta)$ として加法定理を用いると、

$$\begin{aligned} \tan(3\theta) &= \frac{\tan(2\theta) + \tan\theta}{1 - \tan(2\theta)\tan\theta} \\ &= \frac{\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} + \tan\theta}{1 - \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}\tan\theta} \end{aligned}$$

分母・分子に $1 - \tan^2\theta$ を掛けると、

$$\begin{aligned} \tan(3\theta) &= \frac{2\tan\theta + \tan\theta(1 - \tan^2\theta)}{(1 - \tan^2\theta) - 2\tan^2\theta} \\ &= \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} \end{aligned}$$

(2)

$\theta = \frac{\pi}{8}$ のとき、$2\theta = \frac{\pi}{4}$ より $\tan(2\theta) = \tan\frac{\pi}{4} = 1$ である。 (1)の式に代入すると、

$$\frac{2\tan\frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2\frac{\pi}{8}} = 1$$

$$1 - \tan^2\frac{\pi}{8} = 2\tan\frac{\pi}{8}$$

$$\tan^2\frac{\pi}{8} + 2\tan\frac{\pi}{8} - 1 = 0$$

これを $\tan\frac{\pi}{8}$ について解くと、

$$\tan\frac{\pi}{8} = -1 \pm \sqrt{1^2 - (-1)} = -1 \pm \sqrt{2}$$

$0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$ より $\tan\frac{\pi}{8} > 0$ であるから、

$$\tan\frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$$

次に、$\theta = \frac{3}{8}\pi$ のとき、$2\theta = \frac{3}{4}\pi$ より $\tan(2\theta) = \tan\frac{3}{4}\pi = -1$ である。 (1)の式に代入すると、

$$\frac{2\tan\frac{3}{8}\pi}{1 - \tan^2\frac{3}{8}\pi} = -1$$

$$1 - \tan^2\frac{3}{8}\pi = -2\tan\frac{3}{8}\pi$$

$$\tan^2\frac{3}{8}\pi - 2\tan\frac{3}{8}\pi - 1 = 0$$

これを $\tan\frac{3}{8}\pi$ について解くと、

$$\tan\frac{3}{8}\pi = 1 \pm \sqrt{1^2 - (-1)} = 1 \pm \sqrt{2}$$

$0 < \frac{3}{8}\pi < \frac{\pi}{2}$ より $\tan\frac{3}{8}\pi > 0$ であるから、

$$\tan\frac{3}{8}\pi = \sqrt{2} + 1$$

(3)

与えられた3次方程式を変形する。

$$X^3 - 3X = (1+\sqrt{2})(3X^2 - 1)$$

(2)の結果より、$1+\sqrt{2} = \tan\frac{3}{8}\pi$ である。もし $X = \tan\frac{\pi}{8} = \sqrt{2}-1$ とすると、(1)の $\tan(3\theta)$ の公式の分母分子を払った形になり、

$$\begin{aligned} (\text{左辺}) &= \tan^3\frac{\pi}{8} - 3\tan\frac{\pi}{8} \\ (\text{右辺}) &= \tan\frac{3}{8}\pi \cdot \left(3\tan^2\frac{\pi}{8} - 1\right) \\ &= \tan\left(3 \cdot \frac{\pi}{8}\right) \cdot \left(3\tan^2\frac{\pi}{8} - 1\right) \\ &= \frac{3\tan\frac{\pi}{8} - \tan^3\frac{\pi}{8}}{1 - 3\tan^2\frac{\pi}{8}} \cdot \left(3\tan^2\frac{\pi}{8} - 1\right) \\ &= -\left(3\tan\frac{\pi}{8} - \tan^3\frac{\pi}{8}\right) \\ &= \tan^3\frac{\pi}{8} - 3\tan\frac{\pi}{8} \end{aligned}$$

よって左辺と右辺が一致するため、$X = \sqrt{2}-1$ は与えられた方程式の解の1つである。したがって、多項式 $P(X) = X^3 - 3(1+\sqrt{2})X^2 - 3X + 1 + \sqrt{2}$ は $X - (\sqrt{2}-1)$ を因数にもつ。組立除法などを用いて $P(X)$ を因数分解すると、

$$P(X) = (X - \sqrt{2} + 1)\left\{X^2 - 2(2+\sqrt{2})X - (3+2\sqrt{2})\right\} = 0$$

$X^2 - 2(2+\sqrt{2})X - (3+2\sqrt{2}) = 0$ を解くと、

$$\begin{aligned} X &= 2+\sqrt{2} \pm \sqrt{(2+\sqrt{2})^2 + 3+2\sqrt{2}} \\ &= 2+\sqrt{2} \pm \sqrt{4+4\sqrt{2}+2+3+2\sqrt{2}} \\ &= 2+\sqrt{2} \pm \sqrt{9+6\sqrt{2}} \\ &= 2+\sqrt{2} \pm \sqrt{9+2\sqrt{18}} \end{aligned}$$

二重根号を外して、

$$X = 2+\sqrt{2} \pm (\sqrt{6}+\sqrt{3})$$

以上より、方程式の実数解は $X = \sqrt{2}-1, 2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}, 2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$ である。

解法2

(3)の別解

任意の実数 $X$ は、$X = \tan\theta \ \left(-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ とおくことができる。これを方程式に代入すると、

$$\tan^3\theta - 3(1+\sqrt{2})\tan^2\theta - 3\tan\theta + 1+\sqrt{2} = 0$$

$$3\tan\theta - \tan^3\theta = (1+\sqrt{2})(1-3\tan^2\theta)$$

$1-3\tan^2\theta = 0$ を満たす $\theta$（すなわち $\tan\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$）は上式を満たさないため、$1-3\tan^2\theta \neq 0$ として両辺を割ることができる。

$$\frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} = 1+\sqrt{2}$$

(1)および(2)の結果を用いると、

$$\tan(3\theta) = \tan\frac{3}{8}\pi$$

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $-\frac{3}{2}\pi < 3\theta < \frac{3}{2}\pi$ であるから、この範囲で解くと、

$$3\theta = -\frac{5}{8}\pi, \frac{3}{8}\pi, \frac{11}{8}\pi$$

$$\theta = -\frac{5}{24}\pi, \frac{\pi}{8}, \frac{11}{24}\pi$$

これらはすべて $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たし、対応する $\tan\theta$ の値は互いに異なる。3次方程式の実数解は最大3個であるから、これらがすべての解である。

$\theta = \frac{\pi}{8}$ のとき、(2)より $X = \sqrt{2}-1$。

$\theta = \frac{11}{24}\pi$ のとき、加法定理より、

$$\begin{aligned} X &= \tan\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{3}\right) \\ &= \frac{\tan\frac{\pi}{8} + \tan\frac{\pi}{3}}{1 - \tan\frac{\pi}{8}\tan\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{\sqrt{2}-1+\sqrt{3}}{1-(\sqrt{2}-1)\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{6}} \end{aligned}$$

分母分子に $(1+\sqrt{3})+\sqrt{6}$ を掛けて有理化する。分母は $(1+\sqrt{3})^2 - 6 = 2\sqrt{3}-2$ となる。

$$\begin{aligned} X &= \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{3}+\sqrt{6})}{2\sqrt{3}-2} \\ &= \frac{2+2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{2(\sqrt{3}-1)} \\ &= \frac{(1+\sqrt{3}+2\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} \\ &= \frac{4+2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{2} \\ &= 2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} \end{aligned}$$

同様に、$\theta = -\frac{5}{24}\pi$ のとき、

$$\begin{aligned} X &= \tan\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{3}\right) \\ &= \frac{\tan\frac{\pi}{8} - \tan\frac{\pi}{3}}{1 + \tan\frac{\pi}{8}\tan\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{\sqrt{2}-1-\sqrt{3}}{1+(\sqrt{2}-1)\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{2}-1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}+\sqrt{6}} \end{aligned}$$

分母分子に $(1-\sqrt{3})-\sqrt{6}$ を掛けて有理化する。分母は $(1-\sqrt{3})^2 - 6 = -2\sqrt{3}-2$ となる。

$$\begin{aligned} X &= \frac{(\sqrt{2}-1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3}-\sqrt{6})}{-2\sqrt{3}-2} \\ &= \frac{2-2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{-2(\sqrt{3}+1)} \\ &= \frac{(-1+\sqrt{3}-2\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} \\ &= \frac{-4+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{2} \\ &= 2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6} \end{aligned}$$

以上より、すべての実数解が求まった。

解説

三角関数の加法定理から3倍角の公式を導出し、それを利用して3次方程式を解く誘導形式の標準問題である。 (3)において、誘導の意図に気づかず無理やりカルダノの公式等を使おうとすると沼に嵌る。解法1のように、方程式の解を1つ見つけて因数分解に持ち込むのが最も計算ミスが少なく現実的である。解法2のようにすべてを三角関数で押し切ることもできるが、有理化の計算が煩雑になりやすい。