数学2 高次方程式問題 65 解説

方針・初手

与えられた4次方程式が実数解 $x = 1, 3$ をもつことから、方程式の左辺は $(x-1)(x-3)$ を因数にもつ。定数項と最高次係数に着目して商の2次式を設定し、恒等式の考え方を用いて係数を比較する。その後、4次方程式の実数解が $1$ と $3$ のみになるように、残りの2次方程式が満たすべき条件を調べる。

解法1

方程式 $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 3 = 0$ の左辺を $f(x)$ とおく。$f(x) = 0$ は実数解 $1$ と $3$ をもつため、$f(x)$ は $(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$ で割り切れる。

$f(x)$ の $x^4$ の係数が $1$、定数項が $3$ であることに着目すると、$f(x)$ は実数の定数 $p$ を用いて次のように因数分解できる。

$$f(x) = (x^2 - 4x + 3)(x^2 + px + 1)$$

右辺を展開して $x$ について整理する。

$$f(x) = x^4 + (p-4)x^3 + (-4p+4)x^2 + (p-4)x + 3$$

これと $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 3$ の各項の係数を比較すると、以下の関係式が得られる。

$$\begin{cases} a = p - 4 \\ b = -4p + 4 \\ c = p - 4 \end{cases}$$

$a$ は整数であるから、$p = a + 4$ より $p$ も整数である。

次に、$f(x) = 0$ の実数解が $1$ と $3$ のみになる条件を考える。 $x^2 + px + 1 = 0$ を満たす実数 $x$ が存在しないか、存在するならばその実数解が $1$ または $3$ のみであればよい。

$g(x) = x^2 + px + 1$ とおき、$g(x) = 0$ の実数解について場合分けを行う。

(i) $g(x) = 0$ が実数解をもたない場合

判別式を $D$ とすると、$D < 0$ であればよい。

$$D = p^2 - 4 < 0$$

これを解くと、

$$-2 < p < 2$$

$p$ は整数であるから、$p = -1, 0, 1$ となる。それぞれに対応する $a$ の値は $a = p - 4$ より、

$$a = -5, -4, -3$$

(ii) $g(x) = 0$ が実数解をもつ場合

実数解をもつ場合、題意を満たすには、その解が $1$ または $3$ でなければならない。すなわち、$g(1) = 0$ または $g(3) = 0$ が必要である。

・$g(1) = 0$ のとき

$$1 + p + 1 = 0$$

$$p = -2$$

このとき $g(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ となり、$g(x) = 0$ の解は $x = 1$ (重解) のみであるから条件を満たす。対応する $a$ の値は、

$$a = -2 - 4 = -6$$

・$g(3) = 0$ のとき

$$9 + 3p + 1 = 0$$

$$p = -\frac{10}{3}$$

$p$ は整数であるという条件に反するため不適である。

(i), (ii) より、条件を満たす整数 $a$ の値は $a = -6, -5, -4, -3$ である。したがって、$a$ の最大値は $-3$、最小値は $-6$ である。

解説

「実数解が1と3となる」という表現は、「実数解の集合が $\{1, 3\}$ である」ことを意味する。したがって、$f(x)$ から $(x-1)(x-3)$ をくくり出した残りの2次方程式が、$1$ と $3$ 以外の実数解をもたないような条件を漏れなく考えることがポイントとなる。整数問題の側面も併せ持つため、文字を置いた際にはそれが整数であるという制約を明記して扱うと見通しが良くなる。