数学2 解と係数の関係 問題 1 解説

方針・初手

与えられた2次方程式を展開して整理し、$ax^2+bx+c=0$ の形にする。その後、解と係数の関係を用いて基本対称式 $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の値を求め、与式の対称式を基本対称式で表して値を代入する。

解法1

与えられた方程式 $(x-1)(x+2) + x(x-1) + x(x+2) = 0$ の左辺を展開して整理する。

$$(x^2 + x - 2) + (x^2 - x) + (x^2 + 2x) = 0$$

$$3x^2 + 2x - 2 = 0$$

この2次方程式の解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より、以下の式が成り立つ。

$$\alpha + \beta = -\frac{2}{3}$$

$$\alpha\beta = -\frac{2}{3}$$

求める式を通分し、基本対称式で表すように変形する。

$$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta^2}$$

$$= \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$$

ここに求めた $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の値を代入する。

$$= \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{2}{3}\right)}{\left(-\frac{2}{3}\right)^2}$$

$$= \frac{\frac{4}{9} + \frac{4}{3}}{\frac{4}{9}}$$

分母分子に $9$ を掛けて計算する。

$$= \frac{4 + 12}{4}$$

$$= \frac{16}{4}$$

$$= 4$$

解説

2次方程式の解の対称式の値を求める、非常に典型的な問題である。方程式を整理して解と係数の関係を用いる手順は確実に行えるようにしておきたい。分数の計算が煩雑になることを避けるため、途中で分母分子に同じ数を掛けるなどの工夫をすると計算ミスを減らすことができる。

答え

[ア] : 4