数学2 解と係数の関係問題 2 解説

方針・初手

解と係数の関係を用いて、与えられた対称式を基本対称式 $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ で表す。その際、分母に $\alpha, \beta$ が現れるため、暗黙の条件である $\alpha\beta \neq 0$ の確認を忘れないようにする。

解法1

2次方程式 $x^2 + 2px + p = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より以下の式が成り立つ。

$$\begin{cases} \alpha + \beta = -2p \\ \alpha\beta = p \end{cases}$$

与えられた条件式は以下の通りである。

$$\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = -9$$

この式の左辺を通分して変形すると、次のようになる。

$$\frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha\beta} = -9$$

ここで、式に分母 $\alpha, \beta$ が含まれるため、$\alpha\beta \neq 0$ でなければならない。すなわち、$p \neq 0$ である。

分子の $\alpha^3 + \beta^3$ を基本対称式で表すと以下のようになる。

$$\begin{aligned} \alpha^3 + \beta^3 &= (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) \\ &= (-2p)^3 - 3p(-2p) \\ &= -8p^3 + 6p^2 \end{aligned}$$

これを変形した条件式に代入する。

$$\frac{-8p^3 + 6p^2}{p} = -9$$

$p \neq 0$ より、左辺の分母分子を $p$ で割って整理する。

$$-8p^2 + 6p = -9$$

$$8p^2 - 6p - 9 = 0$$

左辺を因数分解する。たすき掛けを用いると以下のようになる。

$$(4p + 3)(2p - 3) = 0$$

これを解くと、$p$ の値は次のようになる。

$$p = -\frac{3}{4}, \frac{3}{2}$$

これらはともに $p \neq 0$ を満たす。

解説

2次方程式の解と係数の関係、および対称式の変形という、数学IIにおける極めて標準的な問題である。分母に $\alpha, \beta$ がくるため、与式が定義される前提として $\alpha \neq 0$ かつ $\beta \neq 0$、すなわち $\alpha\beta \neq 0$ が要求されている点に注意を払う必要がある。本問では求まった $p$ が $0$ にならなかったため結果的に除外される解はなかったが、同値変形を行ううえで分母が $0$ にならないことの確認を怠らないようにしたい。また、問題文には「2つの解」とあるだけで「実数解」との指定はないため、判別式の確認は必須ではない。