数学2 解と係数の関係問題 17 解説

方針・初手

2次方程式の2つの解が与えられていることから、解と係数の関係を用いるのが自然な発想である。解の和と積をそれぞれ計算し、$\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の基本対称式に関する連立方程式を導く。その後は三角関数の相互関係 $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ を活用して $k$ の方程式を立てる。最後に和と積の値から、$\sin\theta, \cos\theta$ を解とする2次方程式を解き、与えられた定義域から大小関係を判定する。

解法1

(1)

2次方程式 $8x^2 - 12kx + 3k^2 + 8 = 0$ の2つの解が $\sin\theta + 2\cos\theta, 2\sin\theta + \cos\theta$ であるから、解と係数の関係より、以下の2式が成り立つ。

$$ (\sin\theta + 2\cos\theta) + (2\sin\theta + \cos\theta) = \frac{12k}{8} $$

$$ (\sin\theta + 2\cos\theta)(2\sin\theta + \cos\theta) = \frac{3k^2 + 8}{8} $$

第1式を整理すると、

$$ 3(\sin\theta + \cos\theta) = \frac{3}{2}k $$

$$ \sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}k $$

となる。また、第2式の左辺を展開すると、

$$ 2\sin^2\theta + 5\sin\theta\cos\theta + 2\cos^2\theta = \frac{3k^2 + 8}{8} $$

ここで、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いると、

$$ 2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + 5\sin\theta\cos\theta = \frac{3k^2 + 8}{8} $$

$$ 2 + 5\sin\theta\cos\theta = \frac{3k^2 + 8}{8} $$

$$ 5\sin\theta\cos\theta = \frac{3k^2 + 8}{8} - 2 = \frac{3k^2 - 8}{8} $$

$$ \sin\theta\cos\theta = \frac{3k^2 - 8}{40} $$

となる。

(2)

等式 $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ が成り立つから、(1) で求めた式を代入して、

$$ \left(\frac{1}{2}k\right)^2 = 1 + 2 \cdot \frac{3k^2 - 8}{40} $$

$$ \frac{1}{4}k^2 = 1 + \frac{3k^2 - 8}{20} $$

両辺に $20$ を掛けて分母を払うと、

$$ 5k^2 = 20 + (3k^2 - 8) $$

$$ 2k^2 = 12 $$

$$ k^2 = 6 $$

となる。$k$ は正の実数であるから、$k > 0$ より、

$$ k = \sqrt{6} $$

である。

(3)

$k = \sqrt{6}$ を (1) の結果に代入すると、

$$ \sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{2} $$

$$ \sin\theta\cos\theta = \frac{3 \cdot 6 - 8}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} $$

となる。これより、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は $t$ についての2次方程式

$$ t^2 - (\sin\theta + \cos\theta)t + \sin\theta\cos\theta = 0 $$

すなわち、

$$ t^2 - \frac{\sqrt{6}}{2}t + \frac{1}{4} = 0 $$

の2つの解である。両辺に $4$ を掛けて、

$$ 4t^2 - 2\sqrt{6}t + 1 = 0 $$

2次方程式の解の公式を用いると、

$$ t = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4}}{4} = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4} $$

となる。ここで、条件 $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ における $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の大小関係を考える。この範囲において、

$$ 0 \leqq \sin\theta \leqq \frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \cos\theta \leqq 1 $$

であるから、$\sin\theta \leqq \cos\theta$ が成り立つ。したがって、2つの解の大小関係から、小さい方が $\sin\theta$、大きい方が $\cos\theta$ と定まる。

$$ \sin\theta = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, \quad \cos\theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

解説

解と係数の関係および対称式・交代式の処理を問う標準的な問題である。(1)、(2) は一本道であり、計算ミスに注意すれば完答しやすい。(3) については、和と積が分かっている2数の決定であるから、2次方程式を作成して解くのが最も確実である。最後に $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ という条件から $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の大小を判断し、どちらがどの値をとるかを確定させる論証を忘れないようにしたい。