数学2 解と係数の関係問題 16 解説

方針・初手

解と係数の関係を用いて基本対称式 $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の値を求め、対称式の変形を行うのが基本である。さらに、$\alpha, \beta$ が方程式 $x^2+x-1=0$ の解であることを利用し、$\alpha^2 = 1 - \alpha$ などの関係式から次数を下げる工夫を用いると計算量が大幅に減る。

解法1

2次方程式 $x^2 + x - 1 = 0$ の解と係数の関係から、

$$\alpha + \beta = -1$$

$$\alpha\beta = -1$$

が成り立つ。また、$\alpha, \beta$ は方程式の解であるから、

$$\alpha^2 + \alpha - 1 = 0 \iff \alpha^2 = 1 - \alpha$$

$$\beta^2 + \beta - 1 = 0 \iff \beta^2 = 1 - \beta$$

が成り立つ。

(1)

式を展開し、基本対称式の値を代入する。

$$(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1$$

$$= -1 - (-1) + 1 = 1$$

(2)

対称式の変形公式を用いる。

$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$$

$$= (-1)^2 - 2(-1) = 3$$

$$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2$$

$$= 3^2 - 2(-1)^2 = 7$$

(3)

(2) と同様に変形を繰り返し、次数を上げていく。

$$\alpha^8 + \beta^8 = (\alpha^4 + \beta^4)^2 - 2(\alpha\beta)^4$$

$$= 7^2 - 2(-1)^4 = 49 - 2 = 47$$

$$\alpha^{16} + \beta^{16} = (\alpha^8 + \beta^8)^2 - 2(\alpha\beta)^8$$

$$= 47^2 - 2(-1)^8 = 2209 - 2 = 2207$$

(4)

$\alpha^2 + \alpha - 1 = 0$ より $\alpha + 1 = \alpha^2$ が成り立つ。$\beta$ についても同様に $\beta + 1 = \beta^2$ が成り立つ。これらを与式に代入する。

$$(\alpha + 1)^8 + (\beta + 1)^8 = (\alpha^2)^8 + (\beta^2)^8 = \alpha^{16} + \beta^{16}$$

(3) の結果より、求める値は $2207$ である。

(5)

$\alpha^2 = 1 - \alpha$ を用いて $\alpha^3$ の次数を下げる。

$$\alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha(1 - \alpha) = \alpha - \alpha^2 = \alpha - (1 - \alpha) = 2\alpha - 1$$

したがって、$\alpha^3 + 1 = 2\alpha$ となる。$\beta$ についても同様に $\beta^3 + 1 = 2\beta$ となる。これらを与式に代入する。

$$(\alpha^3 + 1)^8 + (\beta^3 + 1)^8 = (2\alpha)^8 + (2\beta)^8 = 2^8 (\alpha^8 + \beta^8) = 256 (\alpha^8 + \beta^8)$$

(3) の計算途中で求めた $\alpha^8 + \beta^8 = 47$ を用いると、

$$256 \times 47 = 12032$$

(6)

$S_n = \alpha^n + \beta^n$ ($n$ は $0$ 以上の整数) とおく。$\alpha^2 + \alpha - 1 = 0$ の両辺に $\alpha^k$ ($k$ は $0$ 以上の整数) をかけると、

$$\alpha^{k+2} + \alpha^{k+1} - \alpha^k = 0$$

$\beta$ についても同様に、

$$\beta^{k+2} + \beta^{k+1} - \beta^k = 0$$

これら2式を辺々加えると、

$$(\alpha^{k+2} + \beta^{k+2}) + (\alpha^{k+1} + \beta^{k+1}) - (\alpha^k + \beta^k) = 0$$

すなわち、

$$S_{k+2} + S_{k+1} - S_k = 0 \iff S_k = S_{k+1} + S_{k+2}$$

が成り立つ。これを用いて求める和を変形する。$S_k = S_{k-2} - S_{k-1}$ ($k \ge 2$) として和をとる。

$$\sum_{k=1}^{17} (\alpha^k + \beta^k) = \sum_{k=1}^{17} S_k = S_1 + \sum_{k=2}^{17} (S_{k-2} - S_{k-1})$$

$$= S_1 + (S_0 - S_1) + (S_1 - S_2) + \dots + (S_{15} - S_{16})$$

$$= S_1 + S_0 - S_{16}$$

ここで、$S_0 = \alpha^0 + \beta^0 = 1 + 1 = 2$、$S_1 = \alpha + \beta = -1$ である。また、(3) より $S_{16} = \alpha^{16} + \beta^{16} = 2207$ であるから、

$$\sum_{k=1}^{17} (\alpha^k + \beta^k) = -1 + 2 - 2207 = -2206$$

解法2

(1) の別解である。

$f(x) = x^2 + x - 1$ とおく。2次方程式 $f(x) = 0$ の解が $\alpha, \beta$ であり、$x^2$ の係数が $1$ であるから、因数定理より以下のように因数分解できる。

$$f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)$$

この恒等式に $x = 1$ を代入すると、

$$f(1) = (1 - \alpha)(1 - \beta) = \{-( \alpha - 1 )\}\{-( \beta - 1 )\} = (\alpha - 1)(\beta - 1)$$

一方で、$f(x)$ の定義より $f(1) = 1^2 + 1 - 1 = 1$ である。したがって、$(\alpha - 1)(\beta - 1) = 1$ となる。

解法3

(6) の別解である。

等比数列の和の公式を用いる。$\alpha \neq 1, \beta \neq 1$ であるから、

$$\sum_{k=1}^{17} \alpha^k = \frac{\alpha(1 - \alpha^{17})}{1 - \alpha}$$

$$\sum_{k=1}^{17} \beta^k = \frac{\beta(1 - \beta^{17})}{1 - \beta}$$

これらを足し合わせる。

$$\sum_{k=1}^{17} (\alpha^k + \beta^k) = \frac{\alpha - \alpha^{18}}{1 - \alpha} + \frac{\beta - \beta^{18}}{1 - \beta}$$

通分して計算する。分母は、

$$(1 - \alpha)(1 - \beta) = 1 - (\alpha + \beta) + \alpha\beta = 1 - (-1) + (-1) = 1$$

分子は、

$$(\alpha - \alpha^{18})(1 - \beta) + (\beta - \beta^{18})(1 - \alpha)$$

$$= \alpha - \alpha\beta - \alpha^{18} + \alpha^{18}\beta + \beta - \alpha\beta - \beta^{18} + \alpha\beta^{18}$$

$$= (\alpha + \beta) - 2\alpha\beta - (\alpha^{18} + \beta^{18}) + \alpha\beta(\alpha^{17} + \beta^{17})$$

ここで $\alpha + \beta = -1, \alpha\beta = -1$ を代入する。

$$= -1 - 2(-1) - (\alpha^{18} + \beta^{18}) - (\alpha^{17} + \beta^{17})$$

$$= 1 - \{(\alpha^{18} + \beta^{18}) + (\alpha^{17} + \beta^{17})\}$$

解法1で示した漸化式 $S_{n+2} + S_{n+1} = S_n$ （ただし $S_n = \alpha^n + \beta^n$）を用いると、$S_{18} + S_{17} = S_{16}$ となる。(3) より $S_{16} = 2207$ であるから、求める和は、

$$1 - S_{16} = 1 - 2207 = -2206$$

解説

2次方程式の解の対称式の値を求める典型問題であるが、次数が高くなると力任せの計算では時間がかかる。(4)、(5) のように、解が満たす関係式 $\alpha^2 = 1 - \alpha$ を用いてカッコ内の式を簡略化したり、次数を下げたりする工夫が重要である。また、(6) のように $n$ 乗の和 $S_n = \alpha^n + \beta^n$ に関しては、隣接3項間の漸化式 $S_{n+2} + S_{n+1} - S_n = 0$ が成り立つことを利用すると、和の計算を大幅に簡略化できる。解法2の恒等式を利用する考え方も、特定の値を求める際に有効な手法である。