数学2 三角関数 問題 40 解説

方針・初手

三角関数の和の形で与えられた不等式は、和積の公式を用いて積の形に変形するのが定石である。本問では、$\sin x$ と $\sin 3x$ の組み合わせに対して和積の公式を適用することで、共通因数である $\sin 2x$ をくくり出し、因数分解された形を作ることから始める。

解法1

$\sin x + \sin 3x$ に対して和積の公式を用いると、与えられた不等式は次のように変形できる。

$$(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x > 0$$

$$2 \sin \left( \frac{3x+x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x-x}{2} \right) + \sin 2x > 0$$

$$2 \sin 2x \cos x + \sin 2x > 0$$

$$\sin 2x (2 \cos x + 1) > 0$$

この不等式が成り立つのは、次の2つの場合である。

(i) $\sin 2x > 0$ かつ $2 \cos x + 1 > 0$ のとき

$0^\circ < x < 180^\circ$ より $0^\circ < 2x < 360^\circ$ であるから、$\sin 2x > 0$ を解くと

$$0^\circ < 2x < 180^\circ$$

$$0^\circ < x < 90^\circ$$

また、$2 \cos x + 1 > 0$ より $\cos x > -\frac{1}{2}$ であるから、$0^\circ < x < 180^\circ$ の範囲でこれを解くと

$$0^\circ < x < 120^\circ$$

両者の共通範囲をとって

$$0^\circ < x < 90^\circ$$

(ii) $\sin 2x < 0$ かつ $2 \cos x + 1 < 0$ のとき

$0^\circ < 2x < 360^\circ$ において $\sin 2x < 0$ を解くと

$$180^\circ < 2x < 360^\circ$$

$$90^\circ < x < 180^\circ$$

また、$2 \cos x + 1 < 0$ より $\cos x < -\frac{1}{2}$ であるから、$0^\circ < x < 180^\circ$ の範囲でこれを解くと

$$120^\circ < x < 180^\circ$$

両者の共通範囲をとって

$$120^\circ < x < 180^\circ$$

(i)、(ii) より、求める $x$ の範囲は

$$0^\circ < x < 90^\circ, \quad 120^\circ < x < 180^\circ$$

解説

複数の異なる角度（$x, 2x, 3x$）を含む三角関数の和の問題では、角度を揃えるか、積の形に直して因数分解を目指す。和積の公式 $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ において、$A=3x$、$B=x$ とおくことで角度 $2x$ と $x$ が現れ、うまく $\sin 2x$ をくくり出せるかがポイントである。不等式を積の形 $AB > 0$ に変形できれば、あとは $A > 0, B > 0$ または $A < 0, B < 0$ の場合分けを慎重に行うだけで解にたどり着ける。

答え

$0^\circ < x < 90^\circ$

$120^\circ < x < 180^\circ$