九州大学 2023年 理系 第4問 解説

方針・初手

与えられた関数方程式から、特定の関数の性質（加法定理、導関数など）を導く問題である。 (1) は $x=y=0$ を代入して連立方程式を解く。 (2) は微分の定義式に従い、$f(x+h)$ に条件 (A) を適用して極限を計算する。 (3) は与えられた複素数値関数の実部と虚部をそれぞれ微分し、導関数が $0$ になることから定数関数であることを示す。 (4) は定義された $p(x), q(x)$ を直接計算し、条件式が成り立つことを確認する。後半は前半の結論を利用して関数を決定する。

解法1

(1)

条件 (A), (B) のすべての $x, y$ に $x=y=0$ を代入すると、

$$ f(0) = f(0)^2 - g(0)^2 \quad \cdots \text{(i)} $$

$$ g(0) = 2f(0)g(0) \quad \cdots \text{(ii)} $$

(ii) より、

$$ g(0) \{ 1 - 2f(0) \} = 0 $$

これより、$g(0) = 0$ または $f(0) = \frac{1}{2}$ である。 ここで、$f(0) = \frac{1}{2}$ と仮定して (i) に代入すると、

$$ \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - g(0)^2 $$

$$ g(0)^2 = -\frac{1}{4} $$

$g(x)$ は実数値関数であるから、$g(0)$ は実数であり $g(0)^2 \ge 0$ とならなければならず、これは矛盾である。 したがって、$g(0) = 0$ である。 これを (i) に代入すると、

$$ f(0) = f(0)^2 $$

$$ f(0) \{ f(0) - 1 \} = 0 $$

条件 (C) より $f(0) \neq 0$ であるため、$f(0) = 1$ となる。 以上より、$f(0) = 1, g(0) = 0$ であることが示された。

(2)

導関数の定義に従って $f'(x)$ を計算する。

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

条件 (A) を用いて $f(x+h)$ を展開すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - g(x)g(h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left\{ f(x) \frac{f(h) - 1}{h} - g(x) \frac{g(h)}{h} \right\} \end{aligned} $$

ここで、(1) の結果 $f(0) = 1, g(0) = 0$ と、条件 (D) の $f'(0) = 0, g'(0) = 1$ を用いると、極限部分はそれぞれ以下のようになる。

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(0) = 0 $$

$$ \lim_{h \to 0} \frac{g(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = g'(0) = 1 $$

したがって、$f(x)$ の極限はすべての $x$ において存在し、

$$ f'(x) = f(x) \cdot 0 - g(x) \cdot 1 = -g(x) $$

よって、$f(x)$ はすべての $x$ の値で微分可能な関数であり、$f'(x) = -g(x)$ となることが示された。

(3)

問題文の下線部②の事実より、$f'(x) = -g(x)$ および $g'(x) = f(x)$ が成り立つ。 $F(x) = \{f(x) + ig(x)\}(\cos x - i \sin x)$ とおき、これを展開して実部と虚部に分ける。

$$ F(x) = \{ f(x)\cos x + g(x)\sin x \} + i \{ g(x)\cos x - f(x)\sin x \} $$

実部を $u(x) = f(x)\cos x + g(x)\sin x$、虚部を $v(x) = g(x)\cos x - f(x)\sin x$ とおく。 $u(x)$ を微分すると、積の微分法より、

$$ u'(x) = f'(x)\cos x - f(x)\sin x + g'(x)\sin x + g(x)\cos x $$

これに $f'(x) = -g(x), g'(x) = f(x)$ を代入すると、

$$ u'(x) = -g(x)\cos x - f(x)\sin x + f(x)\sin x + g(x)\cos x = 0 $$

よって、$u(x)$ は定数関数である。(1) より $f(0)=1, g(0)=0$ なので、

$$ u(0) = f(0)\cos 0 + g(0)\sin 0 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 $$

ゆえに、すべての $x$ に対して $u(x) = 1$ である。 同様に、$v(x)$ を微分すると、

$$ v'(x) = g'(x)\cos x - g(x)\sin x - \{ f'(x)\sin x + f(x)\cos x \} $$

これに $f'(x) = -g(x), g'(x) = f(x)$ を代入すると、

$$ v'(x) = f(x)\cos x - g(x)\sin x - \{ -g(x)\sin x + f(x)\cos x \} = 0 $$

よって、$v(x)$ も定数関数である。

$$ v(0) = g(0)\cos 0 - f(0)\sin 0 = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 0 $$

ゆえに、すべての $x$ に対して $v(x) = 0$ である。 したがって、$F(x) = u(x) + iv(x) = 1 + 0i = 1$ となり、

$$ \{f(x) + ig(x)\}(\cos x - i \sin x) = 1 $$

となることが示された。

(4)

与えられた定義は $p(x) = e^{-\frac{a}{b}x}f\left(\frac{x}{b}\right), q(x) = e^{-\frac{a}{b}x}g\left(\frac{x}{b}\right)$ である。 ここで、$f(x), g(x)$ は条件 (A), (B), (C), (D)' を満たす。

まず、(B) を満たすことを示す。

$$ \begin{aligned} q(x+y) &= e^{-\frac{a}{b}(x+y)}g\left(\frac{x+y}{b}\right) \\ &= e^{-\frac{a}{b}x} e^{-\frac{a}{b}y} g\left(\frac{x}{b} + \frac{y}{b}\right) \end{aligned} $$

関数 $g$ は条件 (B) を満たすため、

$$ g\left(\frac{x}{b} + \frac{y}{b}\right) = f\left(\frac{x}{b}\right)g\left(\frac{y}{b}\right) + g\left(\frac{x}{b}\right)f\left(\frac{y}{b}\right) $$

これを代入して展開すると、

$$ \begin{aligned} q(x+y) &= e^{-\frac{a}{b}x} e^{-\frac{a}{b}y} \left\{ f\left(\frac{x}{b}\right)g\left(\frac{y}{b}\right) + g\left(\frac{x}{b}\right)f\left(\frac{y}{b}\right) \right\} \\ &= \left\{ e^{-\frac{a}{b}x} f\left(\frac{x}{b}\right) \right\} \left\{ e^{-\frac{a}{b}y} g\left(\frac{y}{b}\right) \right\} + \left\{ e^{-\frac{a}{b}x} g\left(\frac{x}{b}\right) \right\} \left\{ e^{-\frac{a}{b}y} f\left(\frac{y}{b}\right) \right\} \\ &= p(x)q(y) + q(x)p(y) \end{aligned} $$

よって、$p(x), q(x)$ についても条件 (B) が満たされることが示された。

次に、(D) を満たすことを示す。 $p(x), q(x)$ は微分可能な関数の積と合成関数として定義されているため、微分可能である。 $p(x)$ を微分すると、

$$ p'(x) = -\frac{a}{b}e^{-\frac{a}{b}x}f\left(\frac{x}{b}\right) + e^{-\frac{a}{b}x} \cdot \frac{1}{b}f'\left(\frac{x}{b}\right) $$

$x = 0$ を代入し、$f(0) = 1, f'(0) = a$ を用いると、

$$ p'(0) = -\frac{a}{b} \cdot 1 \cdot f(0) + 1 \cdot \frac{1}{b}f'(0) = -\frac{a}{b} + \frac{a}{b} = 0 $$

同様に、$q(x)$ を微分すると、

$$ q'(x) = -\frac{a}{b}e^{-\frac{a}{b}x}g\left(\frac{x}{b}\right) + e^{-\frac{a}{b}x} \cdot \frac{1}{b}g'\left(\frac{x}{b}\right) $$

$x = 0$ を代入し、$g(0) = 0, g'(0) = b$ を用いると、

$$ q'(0) = -\frac{a}{b} \cdot 1 \cdot g(0) + 1 \cdot \frac{1}{b}g'(0) = 0 + \frac{b}{b} = 1 $$

よって、$p'(0) = 0, q'(0) = 1$ となり、条件 (D) が満たされることが示された。

最後に空欄 [ア], [イ] を求める。 問題文より、$p(x), q(x)$ は条件 (A), (B), (C), (D) を満たす関数であることが保証されているため、前半の議論よりこれらは三角関数となる。すなわち、

$$ p(x) = \cos x, \quad q(x) = \sin x $$

これらと定義式から $f(x), g(x)$ を逆算する。

$$ e^{-\frac{a}{b}x}f\left(\frac{x}{b}\right) = \cos x \implies f\left(\frac{x}{b}\right) = e^{\frac{a}{b}x}\cos x $$

ここで、$x$ を $bx$ に置き換えると、

$$ f(x) = e^{ax}\cos(bx) $$

同様に、

$$ e^{-\frac{a}{b}x}g\left(\frac{x}{b}\right) = \sin x \implies g\left(\frac{x}{b}\right) = e^{\frac{a}{b}x}\sin x $$

$x$ を $bx$ に置き換えると、

$$ g(x) = e^{ax}\sin(bx) $$

これが求める関数である。

解説

関数方程式から三角関数の性質を構成する、解析学の典型的な背景を持つ問題である。 (1) では実数値関数であるという条件から $g(0)^2 \ge 0$ を用いて場合分けを絞り込む点に注意が必要である。 (3) はオイラーの公式 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ を背景としており、複素関数を実部と虚部に分けて実数の微分法に帰着させることで、数学Ⅲの範囲内で厳密に証明することができる。

答え

(1) 略証（$x=y=0$ を代入し、$g(0)^2 \ge 0$ を利用して示した） (2) 略証（導関数の定義と条件 (A) を用いて示した） (3) 略証（実部と虚部がそれぞれ定数関数 $1, 0$ となることを用いて示した） (4) 条件 (B), (D) の証明は略証（定義式を代入し、微分公式を用いて示した） [ ア ] $e^{ax}\cos(bx)$ [ イ ] $e^{ax}\sin(bx)$