北海道大学 2024年 理系 第1問 解説

方針・初手

(1) は、2点 $P, Q$ の $x$ 座標、$y$ 座標がそれぞれ等しくなる条件を立式し、三角方程式を解きます。2倍角の公式を用いて、角を $t$ に統一して考えます。

(2) は、点 $P(x, y)$ の座標 $x = \cos 2t$, $y = \cos t$ から媒介変数 $t$ を消去し、$x, y$ の関係式（軌跡の方程式）を導きます。その際、$t$ の変域から $y$ の変域（定義域・値域）を正確に求めることが重要です。

解法1

(1)

点 $P(\cos 2t, \cos t)$ と点 $Q(\sin t, \sin 2t)$ が一致するための条件は、

$$ \begin{cases} \cos 2t = \sin t & \cdots \text{①} \\ \cos t = \sin 2t & \cdots \text{②} \end{cases} $$

が成り立つことである。

①について、2倍角の公式 $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$ を用いると、

$$ 1 - 2\sin^2 t = \sin t $$

$$ 2\sin^2 t + \sin t - 1 = 0 $$

$$ (2\sin t - 1)(\sin t + 1) = 0 $$

よって、

$$ \sin t = \frac{1}{2}, -1 $$

②について、2倍角の公式 $\sin 2t = 2\sin t \cos t$ を用いると、

$$ \cos t = 2\sin t \cos t $$

$$ \cos t (1 - 2\sin t) = 0 $$

よって、

$$ \cos t = 0 \quad \text{または} \quad \sin t = \frac{1}{2} $$

①と②を同時に満たす条件を考える。

$\sin t = \frac{1}{2}$ のとき、②は満たされる。このとき、$t$ は整数 $n$ を用いて、

$$ t = \frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{5\pi}{6} + 2n\pi $$

と表される。

$\sin t = -1$ のとき、$\cos t = 0$ となり、②は満たされる。このとき、$t$ は整数 $n$ を用いて、

$$ t = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi $$

と表される。

以上より、求める $t$ の値は、整数 $n$ を用いて、

$$ t = \frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{5\pi}{6} + 2n\pi, \frac{3\pi}{2} + 2n\pi $$

(2)

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、

$$ x = \cos 2t $$

$$ y = \cos t $$

$x = \cos 2t$ に 2倍角の公式 $\cos 2t = 2\cos^2 t - 1$ を適用すると、

$$ x = 2\cos^2 t - 1 $$

これに $y = \cos t$ を代入して、

$$ x = 2y^2 - 1 $$

次に、$y$ の変域を求める。$t$ の変域は $0 < t < 2\pi$ であるから、$y = \cos t$ のとり得る値の範囲は、

$$ -1 \le y < 1 $$

（$t = \pi$ のとき $y = -1$ をとるが、$t = 0, 2\pi$ は含まれないため $y = 1$ とはならない）

したがって、求める軌跡は放物線 $x = 2y^2 - 1$ の $-1 \le y < 1$ の部分である。

軸との共有点の座標を求める。

$y$ 軸との共有点は、$x = 0$ を代入して、

$$ 2y^2 - 1 = 0 $$

$$ y^2 = \frac{1}{2} $$

$$ y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $$

これは $-1 \le y < 1$ を満たすので、共有点の座標は $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (0, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ である。

$x$ 軸との共有点は、$y = 0$ を代入して、

$$ x = 2(0)^2 - 1 = -1 $$

これは放物線の頂点であり、共有点の座標は $(-1, 0)$ である。

解説

(1) は基本的な三角方程式の連立問題です。2倍角の公式を用いて式を整理し、両方の式を同時に満たす条件を正確に見つけることが求められます。一般角で答える必要があることに注意しましょう。

(2) は媒介変数表示された曲線の軌跡を求める典型問題です。$t$ を消去して $x, y$ の関係式を導くことは容易ですが、$t$ の変域制限に伴う $y$ （または $x$）の変域の確認を忘れないようにすることが最大のポイントです。端点の開閉（含むか含まないか）も正確に図示・記述する必要があります。

答え

(1)

$$ t = \frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{5\pi}{6} + 2n\pi, \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \quad (n\text{ は整数}) $$

(2)

点 $P$ の軌跡は、放物線 $x = 2y^2 - 1$ の $-1 \le y < 1$ の部分。 端点 $(1, 1)$ は含まず、端点 $(1, -1)$ は含む。 軸との共有点の座標は以下の通り。 $x$ 軸との共有点： $(-1, 0)$ $y$ 軸との共有点： $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (0, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ （図示については、頂点が $(-1, 0)$ で右に開いた放物線を描き、上記の端点と共有点を明記する）