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九州大学 2025年理系第2問解説

方針・初手

(1) は三角関数の微分の基本公式と、相互関係 $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ を用いる。

(2) は (1) の誘導に従い、$y = \tan x$ と置換積分を行う。被積分関数の分子をあらかじめ因数分解しておくと、置換によって生じる式と約分できる。その後は分数関数の積分の定石通り、分子の次数を分母より低くしてから部分分数分解を行う。

解法1

(1) $y = \tan x$ を $x$ で微分すると、

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} $$

となる。

ここで、三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ より、

$$ \frac{dy}{dx} = 1 + \tan^2 x $$

と変形できる。$y = \tan x$ であるから、これを代入して、

$$ \frac{dy}{dx} = y^2 + 1 $$

となる。

(2) 与えられた定積分を $I$ とする。

$$ I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^4 x - \tan^2 x - 2}{\tan^2 x - 4} dx $$

(1) の結果より、$y = \tan x$ とおくと、形式的に以下のように書ける。

$$ dx = \frac{1}{y^2 + 1} dy $$

積分区間の対応は以下のようになる。 $x$ が $0$ から $\frac{\pi}{4}$ まで変化するとき、$y$ は $0$ から $1$ まで変化する。

これらを用いて積分 $I$ を $y$ で表すと、

$$ I = \int_0^1 \frac{y^4 - y^2 - 2}{y^2 - 4} \cdot \frac{1}{y^2 + 1} dy $$

被積分関数の分子は $y^4 - y^2 - 2 = (y^2 - 2)(y^2 + 1)$ と因数分解できるため、

$$ \begin{aligned} I &= \int_0^1 \frac{(y^2 - 2)(y^2 + 1)}{y^2 - 4} \cdot \frac{1}{y^2 + 1} dy \\ &= \int_0^1 \frac{y^2 - 2}{y^2 - 4} dy \end{aligned} $$

となる。被積分関数について、分子の次数と分母の次数が等しいため、分子の次数を下げるように変形する。

$$ \frac{y^2 - 2}{y^2 - 4} = \frac{(y^2 - 4) + 2}{y^2 - 4} = 1 + \frac{2}{y^2 - 4} $$

さらに、第2項を部分分数分解する。

$$ \frac{2}{y^2 - 4} = \frac{2}{(y - 2)(y + 2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2} \right) $$

これらを積分 $I$ に代入して計算する。

$$ \begin{aligned} I &= \int_0^1 \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2} \right) \right\} dy \\ &= \left[ y + \frac{1}{2} ( \log|y - 2| - \log|y + 2| ) \right]_0^1 \\ &= \left[ y + \frac{1}{2} \log \left| \frac{y - 2}{y + 2} \right| \right]_0^1 \end{aligned} $$

上限 $y = 1$ を代入した値から、下限 $y = 0$ を代入した値を引く。

$$ \begin{aligned} I &= \left( 1 + \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 - 2}{1 + 2} \right| \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \log \left| \frac{0 - 2}{0 + 2} \right| \right) \\ &= \left( 1 + \frac{1}{2} \log \frac{1}{3} \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \log 1 \right) \\ &= 1 - \frac{1}{2} \log 3 \end{aligned} $$