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京都大学 2023年文系第3問解説

方針・初手

(1) 加法定理を用いて、倍角の公式および3倍角の公式を導出します。

(2) 正五角形の中心と隣り合う2頂点を結ぶ三角形に着目します。中心角を $\theta = \frac{2\pi}{5}$（$72^\circ$）とすると、$5\theta = 2\pi$ が成り立ちます。この関係式と(1)の結果を利用して方程式を立て、$\cos\theta$ の値を求めます。さらに余弦定理から一辺の長さの2乗を計算し、無理数の不等式評価を用いて $1.15$ との大小を比較します。

解法1

(1)

加法定理 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$ を用いる。$\alpha = \beta = \theta$ とすると、

$$\begin{aligned} \cos 2\theta &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ &= \cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) \\ &= 2\cos^2\theta - 1 \end{aligned}$$

次に $\alpha = 2\theta, \beta = \theta$ とすると、$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いて、

$$\begin{aligned} \cos 3\theta &= \cos 2\theta \cos\theta - \sin 2\theta \sin\theta \\ &= (2\cos^2\theta - 1)\cos\theta - 2\sin^2\theta \cos\theta \\ &= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2(1 - \cos^2\theta)\cos\theta \\ &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \end{aligned}$$

(2)

半径 $1$ の円に内接する正五角形の一辺の長さを $x$ とする。円の中心と隣り合う2頂点を結んでできる三角形において中心角を $\theta$ とすると、$\theta = \dfrac{2\pi}{5}$ である。

$5\theta = 2\pi$ より $3\theta = 2\pi - 2\theta$ が成り立つ。両辺の $\cos$ をとると、

$$ \cos 3\theta = \cos(2\pi - 2\theta) = \cos 2\theta $$

(1) の結果を代入して、

$$ 4\cos^3\theta - 3\cos\theta = 2\cos^2\theta - 1 $$

$$ 4\cos^3\theta - 2\cos^2\theta - 3\cos\theta + 1 = 0 $$

$\cos\theta = 1$ のとき左辺は $0$ になるから $(\cos\theta - 1)$ を因数にもつ。因数分解すると、

$$ (\cos\theta - 1)(4\cos^2\theta + 2\cos\theta - 1) = 0 $$

$\theta = \dfrac{2\pi}{5}$ より $0 < \cos\theta < 1$ であるから、$\cos\theta - 1 \neq 0$。したがって、

$$ 4\cos^2\theta + 2\cos\theta - 1 = 0 $$

解の公式より $\cos\theta > 0$ に適する解は、

$$ \cos\theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $$

余弦定理より、

$$\begin{aligned} x^2 &= 1^2 + 1^2 - 2\cos\theta \\ &= 2 - 2 \cdot \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \\ &= \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \end{aligned}$$

$x^2$ と $1.15^2$ の大小を比較する。

$$ 1.15^2 = \frac{529}{400} = 1.3225 $$

$2.3^2 = 5.29 > 5$ より $\sqrt{5} < 2.3$ であるから、

$$ x^2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} > \frac{5 - 2.3}{2} = 1.35 > 1.3225 = 1.15^2 $$

$x > 0,\ 1.15 > 0$ であるから $x > 1.15$ が成り立つ。以上より、正五角形の一辺の長さは $1.15$ より大きい。

解説

(1) は加法定理から倍角・3倍角の公式を導出する問題です。公式として暗記している場合でも、結果だけを書くのではなく加法定理からの導出過程をしっかりと記述しましょう。

(2) は正五角形に関連した有名問題である「$\cos 72^\circ$ の算出」と、「無理数の近似と評価」を組み合わせた良問です。$5\theta = 360^\circ$ を $3\theta = 360^\circ - 2\theta$ に分割して方程式に帰着させる手法は頻出です。最終的な大小判定では、$\sqrt{5} \approx 2.236$ という知識から「$2.3$ で上から押さえれば十分」という見通しを立ててから記述するとスムーズです。