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数学2 三角関数問題 41 解説

方針・初手

(1) は与えられた条件から方程式を立てて $\alpha$ の角度を直接求める問題である。三角関数の性質と $\alpha$ のとり得る値の範囲に注意して解を絞り込む。

(2) は指定された通り、加法定理 $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ と、2倍角の公式 $\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1$、$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いて式を変形し、$3\theta$ を $2\theta+\theta$ と分解して導出する。

(3) は (1) で求めた角度の余弦の値を、(2) の結果を利用して求める。与式 $\cos2\alpha = \cos3\alpha$ を $\cos\alpha$ についての方程式に書き換え、$\alpha \neq 0^\circ$ であることに注意して因数分解と解の公式を利用する。

解法1

(1)

$0^\circ < \alpha < 90^\circ$ より、

$$0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$$

$$0^\circ < 3\alpha < 270^\circ$$

である。$\cos 2\alpha = \cos 3\alpha$ が成り立つとき、上の範囲において $2\alpha \neq 3\alpha$ であるため、単位円上の動径を考えると、$2\alpha$ と $3\alpha$ の動径は $x$ 軸に関して対称な位置にある。したがって、

$$2\alpha + 3\alpha = 360^\circ$$

が成り立つ。これを解いて、

$$5\alpha = 360^\circ$$

$$\alpha = 72^\circ$$

(2)

三角関数の加法定理より、

$$\begin{aligned} \cos 3\theta &= \cos(2\theta + \theta) \\ &= \cos 2\theta \cos \theta - \sin 2\theta \sin \theta \end{aligned}$$

ここで、2倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ と $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ を代入する。

$$\begin{aligned} \cos 3\theta &= (2\cos^2\theta - 1)\cos\theta - (2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta \\ &= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2\sin^2\theta\cos\theta \end{aligned}$$

さらに、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入して整理する。

$$\begin{aligned} \cos 3\theta &= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2(1 - \cos^2\theta)\cos\theta \\ &= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2\cos\theta + 2\cos^3\theta \\ &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \end{aligned}$$

以上により、$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ が示された。

(3)

(1) より、$\alpha = 72^\circ$ であるから、$\cos 2\alpha = \cos 3\alpha$ が成り立つ。

この等式に2倍角の公式 $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ と、(2) で示した3倍角の公式 $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$ を代入する。

$$2\cos^2\alpha - 1 = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$$

右辺に項を集めて整理すると、

$$4\cos^3\alpha - 2\cos^2\alpha - 3\cos\alpha + 1 = 0$$

左辺は $\cos\alpha = 1$ のとき値が $0$ になるため、因数定理より $\cos\alpha - 1$ を因数に持つ。

$$(\cos\alpha - 1)(4\cos^2\alpha + 2\cos\alpha - 1) = 0$$

ここで、$0^\circ < \alpha < 90^\circ$ より $\cos\alpha \neq 1$ であるから、$\cos\alpha - 1 \neq 0$ である。両辺を $\cos\alpha - 1$ で割ると、

$$4\cos^2\alpha + 2\cos\alpha - 1 = 0$$

解の公式を用いてこれを解くと、

$$\cos\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$$

$0^\circ < \alpha < 90^\circ$ において $\cos\alpha > 0$ であるから、適する値は正の方である。

$$\cos\alpha = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$$

解説

$\alpha = 72^\circ$ とその半角である $36^\circ$ の三角比を求める過程は、大学入試における頻出テーマである。正五角形の対角線の長さを求める図形的なアプローチで計算されることも多いが、本問のように $\cos 2\alpha = \cos 3\alpha$ を端緒として代数的に余弦の値を導出させる流れも非常によく出題される。

3倍角の公式は暗記しておくべき公式の1つであるが、本問の (2) のように加法定理と2倍角の公式から即座に導けるようにしておくことが最も重要である。(3) における高次方程式の因数分解では、$\alpha = 0^\circ$ のときに $\cos 2\alpha = \cos 3\alpha = 1$ となり等式が成立することを見抜ければ、容易に $\cos\alpha = 1$ という解（つまり $\cos\alpha - 1$ という因数）を見つけることができる。