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数学2 三角関数問題 42 解説

方針・初手

放物線の接線の方程式を求め、円と接線の幾何学的な性質を利用して図形的に処理する。外部の点から円に引いた2本の接線の長さが等しいこと、および円の中心が2本の接線がなす角の二等分線上にあることに着目する。図形的関係に帰着させることで計算量を抑えられるが、点と直線の距離の公式を用いて代数的に押し切ることも可能である。

解法1

(1)

放物線 $y = x^2$ について $y' = 2x$ であるから、点 $\text{A}(a, a^2)$ における接線 $l$ の方程式は

$$y - a^2 = 2a(x - a) \iff y = 2ax - a^2$$

となる。直線 $l$ と $x$ 軸の交点 $\text{R}_1$ は、$y=0$ を代入して $2ax = a^2$、$a>0$ より $x = \frac{a}{2}$ である。よって $\text{R}_1 \left(\frac{a}{2}, 0\right)$ である。直線 $l$ と $y$ 軸の交点 $\text{R}_2$ は、$x=0$ を代入して $y = -a^2$ である。よって $\text{R}_2(0, -a^2)$ である。

ここで、$\text{R}_1$ の座標は線分 $\text{AR}_2$ の中点に一致する。

$$\left( \frac{a+0}{2}, \frac{a^2-a^2}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right)$$

したがって、$\text{AR}_2 = 2\text{AR}_1$ が成り立つ。円 $C_1$ は直線 $l$ と $x$ 軸にそれぞれ点 $\text{A}$、$\text{Q}_1$ で接するため、$\text{R}_1$ から引いた2本の接線の長さは等しく、$\text{Q}_1\text{R}_1 = \text{AR}_1$ である。同様に、円 $C_2$ は直線 $l$ と $y$ 軸にそれぞれ点 $\text{A}$、$\text{Q}_2$ で接するため、$\text{R}_2$ から引いた2本の接線の長さは等しく、$\text{Q}_2\text{R}_2 = \text{AR}_2$ である。ゆえに、

$$\text{Q}_2\text{R}_2 = \text{AR}_2 = 2\text{AR}_1 = 2\text{Q}_1\text{R}_1$$

となり、$\text{Q}_2\text{R}_2 = 2 \text{Q}_1\text{R}_1$ が示された。

(2)

円 $C_1$ の中心 $\text{P}_1$ は第1象限にあり、$x$ 軸と接するため $\angle\text{P}_1\text{Q}_1\text{R}_1 = 90^\circ$ である。 $\angle\text{P}_1\text{R}_1\text{Q}_1 = \theta$ より、$\triangle\text{P}_1\text{R}_1\text{Q}_1$ において $\text{P}_1\text{Q}_1 = \text{Q}_1\text{R}_1 \tan\theta$ が成り立つ。同様に、円 $C_2$ の中心 $\text{P}_2$ は第1象限にあり、$y$ 軸と接するため $\angle\text{P}_2\text{Q}_2\text{R}_2 = 90^\circ$ である。 $\angle\text{P}_2\text{R}_2\text{Q}_2 = \phi$ とおくと、$\triangle\text{P}_2\text{R}_2\text{Q}_2$ において $\text{P}_2\text{Q}_2 = \text{Q}_2\text{R}_2 \tan\phi$ が成り立つ。

直線 $l$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\alpha$ $\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$ とすると、$\tan\alpha = 2a$ である。点 $\text{P}_1$ は、$x$ 軸の正の部分と点 $\text{A}$ へ向かう直線 $l$ の半直線のなす角の二等分線上にあるため、$\alpha = 2\theta$ である。一方、直線 $l$ と $y$ 軸の正の向きとのなす鋭角は $\frac{\pi}{2} - \alpha$ である。点 $\text{P}_2$ は、$y$ 軸の正の部分と点 $\text{A}$ へ向かう直線 $l$ の半直線のなす角の二等分線上にあるため、$2\phi = \frac{\pi}{2} - \alpha$ である。したがって、$2\theta + 2\phi = \frac{\pi}{2}$ より $\phi = \frac{\pi}{4} - \theta$ である。

$\text{P}_1\text{Q}_1 = \text{P}_2\text{Q}_2$ のとき、

$$\text{Q}_1\text{R}_1 \tan\theta = \text{Q}_2\text{R}_2 \tan\phi$$

(1) の結果より $\text{Q}_2\text{R}_2 = 2\text{Q}_1\text{R}_1$ であり、$\text{Q}_1\text{R}_1 \neq 0$ であるから、両辺を $\text{Q}_1\text{R}_1$ で割ると

$$\tan\theta = 2\tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$$

加法定理を用いると

$$\tan\theta = \frac{2(1 - \tan\theta)}{1 + \tan\theta}$$

両辺に $1 + \tan\theta$ を掛けて整理する。

$$\begin{aligned} \tan\theta (1 + \tan\theta) &= 2 - 2\tan\theta \\ \tan^2\theta + 3\tan\theta - 2 &= 0 \end{aligned}$$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ であるから $\tan\theta > 0$ である。これを解いて、

$$\tan\theta = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$$

(3)

(2) より $\alpha = 2\theta$ であるから、$\tan\alpha = \tan 2\theta$ が成り立つ。直線 $l$ の傾きに着目すると、$\tan\alpha = 2a$ であるから、倍角の公式より

$$2a = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$$

ここで、(2) で得た方程式 $\tan^2\theta + 3\tan\theta - 2 = 0$ より $1 - \tan^2\theta = 3\tan\theta - 1$ である。これを代入すると

$$\begin{aligned} 2a &= \frac{2\tan\theta}{3\tan\theta - 1} \\ a &= \frac{\tan\theta}{3\tan\theta - 1} \end{aligned}$$

これに $\tan\theta = \frac{\sqrt{17} - 3}{2}$ を代入する。

$$\begin{aligned} a &= \frac{\frac{\sqrt{17} - 3}{2}}{3 \cdot \frac{\sqrt{17} - 3}{2} - 1} \\ &= \frac{\sqrt{17} - 3}{3\sqrt{17} - 9 - 2} \\ &= \frac{\sqrt{17} - 3}{3\sqrt{17} - 11} \end{aligned}$$

分母を有理化する。

$$\begin{aligned} a &= \frac{(\sqrt{17} - 3)(3\sqrt{17} + 11)}{(3\sqrt{17} - 11)(3\sqrt{17} + 11)} \\ &= \frac{51 + 11\sqrt{17} - 9\sqrt{17} - 33}{9 \cdot 17 - 121} \\ &= \frac{18 + 2\sqrt{17}}{153 - 121} \\ &= \frac{18 + 2\sqrt{17}}{32} \\ &= \frac{9 + \sqrt{17}}{16} \end{aligned}$$

解法2

(1) 解法1と同じであるため省略する。以降、$\text{Q}_1\text{R}_1 = \text{AR}_1 = \frac{a}{2}\sqrt{1 + 4a^2}$、$\text{Q}_2\text{R}_2 = a\sqrt{1 + 4a^2}$ を用いる。

(2), (3)

円 $C_1$ の半径を $r_1$、円 $C_2$ の半径を $r_2$ とおく。点 $\text{P}_1$ の座標は $\left( \frac{a}{2} + \text{Q}_1\text{R}_1, r_1 \right)$ である。点 $\text{P}_1$ と直線 $l: 2ax - y - a^2 = 0$ の距離は $r_1$ であり、図形の位置関係から $\text{P}_1$ は $l$ の下側 ($2ax - y - a^2 > 0$) にあるため、

$$\frac{2a\left(\frac{a}{2} + \text{Q}_1\text{R}_1\right) - r_1 - a^2}{\sqrt{4a^2 + 1}} = r_1$$

整理すると $2a \text{Q}_1\text{R}_1 - r_1 = r_1\sqrt{4a^2 + 1}$ となり、

$$\tan\theta = \frac{r_1}{\text{Q}_1\text{R}_1} = \frac{2a}{1 + \sqrt{4a^2 + 1}}$$

同様に、点 $\text{P}_2$ の座標は $(r_2, -a^2 + \text{Q}_2\text{R}_2)$ である。点 $\text{P}_2$ と直線 $l$ の距離は $r_2$ であり、$\text{P}_2$ は $l$ の上側 ($2ax - y - a^2 < 0$) にあるため、

$$\frac{-\left( 2ar_2 - (-a^2 + \text{Q}_2\text{R}_2) - a^2 \right)}{\sqrt{4a^2 + 1}} = r_2$$

整理すると $\text{Q}_2\text{R}_2 - 2ar_2 = r_2\sqrt{4a^2 + 1}$ となる。(1) より $\text{Q}_2\text{R}_2 = 2\text{Q}_1\text{R}_1$ であるから、

$$r_2 = \frac{2\text{Q}_1\text{R}_1}{2a + \sqrt{4a^2 + 1}}$$

$\text{P}_1\text{Q}_1 = \text{P}_2\text{Q}_2$ より $r_1 = r_2$ であるから、

$$\text{Q}_1\text{R}_1 \frac{2a}{1 + \sqrt{4a^2 + 1}} = \frac{2\text{Q}_1\text{R}_1}{2a + \sqrt{4a^2 + 1}}$$

$\text{Q}_1\text{R}_1 > 0$ で割り、分母を払って整理する。

$$\begin{aligned} a(2a + \sqrt{4a^2 + 1}) &= 1 + \sqrt{4a^2 + 1} \\ (a - 1)\sqrt{4a^2 + 1} &= 1 - 2a^2 \end{aligned}$$

両辺を2乗する。

$$\begin{aligned} (a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 1) &= 1 - 4a^2 + 4a^4 \\ 4a^4 + a^2 - 8a^3 - 2a + 4a^2 + 1 &= 4a^4 - 4a^2 + 1 \\ -8a^3 + 9a^2 - 2a &= 0 \end{aligned}$$

$a > 0$ であるから両辺を $a$ で割ると $8a^2 - 9a + 2 = 0$ となり、解の公式より

$$a = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{16}$$

ここで、$(a - 1)\sqrt{4a^2 + 1} = 1 - 2a^2$ において両辺の符号は一致しなければならない。 $a = \frac{9 - \sqrt{17}}{16} \approx 0.31$ のとき、左辺は負、右辺は正となり不適である。 $a = \frac{9 + \sqrt{17}}{16} \approx 0.82$ のとき、左辺は負、右辺も負となり適する。よって $a = \frac{9 + \sqrt{17}}{16}$ である。（(3) の解）

このとき、$\sqrt{4a^2 + 1} = \frac{1 - 2a^2}{a - 1}$ を $\tan\theta$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{r_2}{\text{Q}_1\text{R}_1} \\ &= \frac{2}{2a + \sqrt{4a^2 + 1}} \\ &= \frac{2}{2a + \frac{1 - 2a^2}{a - 1}} \\ &= \frac{2(a - 1)}{2a(a - 1) + 1 - 2a^2} \\ &= \frac{2(a - 1)}{1 - 2a} \end{aligned}$$

これに $a = \frac{9 + \sqrt{17}}{16}$ を代入する。

$$\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{2\left(\frac{9 + \sqrt{17}}{16} - 1\right)}{1 - 2 \cdot \frac{9 + \sqrt{17}}{16}} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{17} - 7}{8}}{\frac{8 - (9 + \sqrt{17})}{8}} \\ &= \frac{\sqrt{17} - 7}{-1 - \sqrt{17}} \\ &= \frac{(\sqrt{17} - 7)(\sqrt{17} - 1)}{-(\sqrt{17} + 1)(\sqrt{17} - 1)} \\ &= \frac{17 - 8\sqrt{17} + 7}{-16} \\ &= \frac{24 - 8\sqrt{17}}{-16} \\ &= \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \end{aligned}$$

となり、(2) の解も得られる。

解説

(1) の接線の長さが等しいという性質は、円の外部の点から引いた接線の基本性質である。(2) 以降は、点と直線の距離の公式を用いて力押しで計算することもできる（解法2）が、中心が角の二等分線上にあるという図形的性質を用いることで、三角関数の加法定理・倍角の公式の問題に帰着させることができ、計算量が大幅に削減される（解法1）。解法2の場合、無理方程式を解く際の同値変形（両辺の符号の確認）を忘れないように注意が必要である。