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数学2 三角関数問題 103 解説

方針・初手

与えられた条件に従い、各点の座標を設定して傾きを計算する。そこから $\tan$ の加法定理を用いて2直線のなす角 $\theta$ の正接（$\tan \theta$）を立式し、最大・最小問題に帰着させる。

解法1

(1)

放物線 $y = x^2$ 上にある点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ の座標はそれぞれ $\mathrm{P}(p, p^2), \mathrm{Q}(p+1, (p+1)^2), \mathrm{R}(p+2, (p+2)^2)$ と表せる。

直線 $\mathrm{PQ}$ の傾き $m_1$ は、

$$m_1 = \frac{(p+1)^2 - p^2}{(p+1) - p} = \frac{p^2 + 2p + 1 - p^2}{1} = 2p + 1$$

直線 $\mathrm{PR}$ の傾き $m_2$ は、

$$m_2 = \frac{(p+2)^2 - p^2}{(p+2) - p} = \frac{p^2 + 4p + 4 - p^2}{2} = 2p + 2$$

(2)

(1) の結果より、

$$\begin{aligned} m_1 m_2 &= (2p + 1)(2p + 2) \\ &= 4p^2 + 6p + 2 \\ &= 4 \left( p^2 + \frac{3}{2}p \right) + 2 \\ &= 4 \left( p + \frac{3}{4} \right)^2 - 4 \cdot \frac{9}{16} + 2 \\ &= 4 \left( p + \frac{3}{4} \right)^2 - \frac{1}{4} \end{aligned}$$

$p$ は実数全体を動くため、$p = -\frac{3}{4}$ のとき、$m_1 m_2$ は最小値 $-\frac{1}{4}$ をとる。

(3)

直線 $\mathrm{PQ}, \mathrm{PR}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha, \beta$ $\left( -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2} \right)$ とする。このとき、$\tan \alpha = m_1 = 2p+1, \ \tan \beta = m_2 = 2p+2$ である。

点 $\mathrm{Q}, \mathrm{R}$ の $x$ 座標は点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標より大きいため、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}, \overrightarrow{\mathrm{PR}}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角はそれぞれ $\alpha, \beta$ と一致する。また、$m_2 - m_1 = 1 > 0$ より $\tan \beta > \tan \alpha$ であるから、$\beta > \alpha$ であり、$\angle \mathrm{QPR} = \theta = \beta - \alpha$ と表せる。

したがって、正接の加法定理より、

$$\begin{aligned} \tan \theta &= \tan(\beta - \alpha) \\ &= \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \\ &= \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \end{aligned}$$

ここで、$m_2 - m_1 = 1$ であり、(2) より $m_1 m_2 = 4p^2 + 6p + 2$ であるから、

$$\begin{aligned} \tan \theta &= \frac{1}{1 + (4p^2 + 6p + 2)} \\ &= \frac{1}{4p^2 + 6p + 3} \end{aligned}$$

(4)

(3) の結果から、

$$\tan \theta = \frac{1}{4 \left( p + \frac{3}{4} \right)^2 + \frac{3}{4}}$$

分母は $4 \left( p + \frac{3}{4} \right)^2 + \frac{3}{4} \geqq \frac{3}{4} > 0$ であり、常に正である。したがって $\tan \theta > 0$ であり、$0 < \theta < \pi$ であることを考慮すると、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲にある。

この範囲において、$\tan \theta$ の値が最大となるとき、$\theta$ も最大となる。 $\tan \theta$ が最大となるのは、分子が定数であるから分母が最小となるときである。

分母 $4 \left( p + \frac{3}{4} \right)^2 + \frac{3}{4}$ は $p = -\frac{3}{4}$ のとき最小となる。よって、$\theta$ が最大になる $p$ の値は $p = -\frac{3}{4}$ である。

解説

放物線上の複数点の傾きからなす角を求める典型的な問題である。 (1) で求めた傾きを利用し、(3) で $\tan$ の加法定理を適用して $\theta$ を立式する流れが重要となる。2直線のなす角 $\theta$ を $\tan$ で表す際、各ベクトルが向いている方向を考慮し、$\theta = \beta - \alpha$ （または絶対値）として正確に処理できるかがポイントである。また、(4) では $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において $\tan \theta$ が単調増加であることを確認したうえで、分母の最小化に帰着させる論理を丁寧に記述することが求められる。