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数学2 三角関数問題 102 解説

方針・初手

(1) $\theta = 18^\circ$ という具体的な角度に対しては、$5\theta = 90^\circ$ となる性質を利用する。角を $2\theta$ と $3\theta$ に分割して等式を導く。

(2) $3\alpha = 2\alpha + \alpha$ とみて、正弦・余弦の加法定理および2倍角の公式を適用し、すべて $\cos \alpha$ で表す。

(3) 半径1の円に内接する正二十角形は、円の中心を頂点とする合同な20個の二等辺三角形に分割できる。中心角は $\frac{360^\circ}{20} = 18^\circ$ となるため、1つの三角形の面積は $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 18^\circ$ で表される。(1) と (2) の結果を連立させて $\sin 18^\circ$ の値を求め、面積を計算する。

解法1

(1)

$\theta = 18^\circ$ のとき、$5\theta = 90^\circ$ であるから、

$$2\theta + 3\theta = 90^\circ$$

$$2\theta = 90^\circ - 3\theta$$

が成り立つ。この両辺の正弦をとると、

$$\sin 2\theta = \sin (90^\circ - 3\theta)$$

$\sin(90^\circ - A) = \cos A$ の関係を用いると、

$$\sin 2\theta = \cos 3\theta$$

となり、示された。

(2)

加法定理および2倍角の公式を用いて、$\cos 3\alpha$ を変形する。

$$\begin{aligned} \cos 3\alpha &= \cos(2\alpha + \alpha) \\ &= \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha \\ &= (2\cos^2 \alpha - 1)\cos \alpha - (2\sin \alpha \cos \alpha)\sin \alpha \\ &= 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2\sin^2 \alpha \cos \alpha \end{aligned}$$

ここで、$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \cos 3\alpha &= 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2(1 - \cos^2 \alpha)\cos \alpha \\ &= 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2\cos \alpha + 2\cos^3 \alpha \\ &= 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha \end{aligned}$$

となり、示された。

(3)

半径1の円に内接する正二十角形は、円の中心を頂点とする合同な20個の二等辺三角形に分割できる。この二等辺三角形の等しい辺の長さは円の半径に等しく1であり、その間の角（中心角）は、

$$\frac{360^\circ}{20} = 18^\circ$$

である。ここで、$\theta = 18^\circ$ とおく。正二十角形の面積 $S$ は、

$$S = 20 \times \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin \theta \right) = 10 \sin \theta$$

と表せる。したがって、$\sin \theta = \sin 18^\circ$ の値が必要になる。

(1) より、$\sin 2\theta = \cos 3\theta$ が成り立つ。左辺には正弦の2倍角の公式、右辺には (2) で示した余弦の3倍角の公式を適用すると、

$$2 \sin \theta \cos \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$$

$\theta = 18^\circ$ のとき $\cos \theta \neq 0$ であるから、両辺を $\cos \theta$ で割ると、

$$2 \sin \theta = 4 \cos^2 \theta - 3$$

右辺の $\cos^2 \theta$ を $1 - \sin^2 \theta$ に置き換えて、$\sin \theta$ の方程式にする。

$$\begin{aligned} 2 \sin \theta &= 4(1 - \sin^2 \theta) - 3 \\ 2 \sin \theta &= 4 - 4 \sin^2 \theta - 3 \\ 4 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - 1 &= 0 \end{aligned}$$

この2次方程式を解の公式を用いて解くと、

$$\sin \theta = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot (-1)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $\sin \theta > 0$ であるから、

$$\sin \theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$$

これを面積の式に代入して、

$$\begin{aligned} S &= 10 \times \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \\ &= \frac{5(\sqrt{5} - 1)}{2} \end{aligned}$$

解説

$\sin 18^\circ$ や $\cos 36^\circ$ などの値を求める手法は、頻出の典型問題である。(1) で $5\theta = 90^\circ$ という性質に着目させ、(2) で3倍角の公式を導出させた上で、(3) で図形の面積計算に帰着させるという非常に丁寧な誘導がついている。

方程式を解く際に、$\cos \theta \neq 0$ を明記して両辺を割る操作や、$\sin \theta > 0$ を用いて2次方程式の解を絞り込む操作など、基本的な条件の確認を怠らないことが重要である。また、(2) の3倍角の公式は暗記している場合でも、問題文で「示せ」と要求されているため、加法定理から導出する過程を省略せずに書く必要がある。