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数学2 三角関数問題 105 解説

方針・初手

正多角形が直線上を転がる際に描く頂点の軌跡を考える問題である。各回の操作において、図形はどの頂点を中心に、どれだけの角度回転するかを正確に把握することが第一歩となる。各ステップでの軌跡は円弧となり、軌跡の全長はその円弧の長さの総和である。本問は、その和の計算を順に誘導していく構成になっている。

解法1

(1)

正 $n$ 角形の1つの外角の大きさは $\frac{2\pi}{n}$ である。操作において、正 $n$ 角形 $P$ は $\text{A}_k$ を中心として、辺 $\text{A}_{k-1}\text{A}_k$ が $x$ 軸上にある状態から辺 $\text{A}_k\text{A}_{k+1}$ が $x$ 軸上にくるまで回転する。このときの回転角は、正 $n$ 角形の外角に等しく $\frac{2\pi}{n}$ である。したがって、頂点 $\text{A}_0$ は点 $\text{A}_k$ を中心とする半径 $a_k = \text{A}_0\text{A}_k$ の円周上を角 $\frac{2\pi}{n}$ だけ動くので、その軌跡の長さは

$$a_k \cdot \frac{2\pi}{n} = \frac{2\pi a_k}{n}$$

(2)

正 $n$ 角形 $P$ の外接円を考える。頂点 $\text{A}_0, \text{A}_1, \dots, \text{A}_{n-1}$ はこの外接円の円周を $n$ 等分している。 $n$ 等分された1つの弧（例えば弧 $\text{A}_0\text{A}_1$）に対する中心角は $\frac{2\pi}{n}$ であり、円周角の定理より、その弧に対する円周角は $\frac{\pi}{n}$ である。 $\angle \text{A}_k\text{A}_{k+1}\text{A}_0$ は、弧 $\text{A}_0\text{A}_1\dots\text{A}_k$ に対する円周角である。弧 $\text{A}_0\text{A}_k$ は $n$ 等分された弧を $k$ 個合わせたものであるから、求める角の大きさは

$$\angle \text{A}_k\text{A}_{k+1}\text{A}_0 = k \cdot \frac{\pi}{n} = \frac{k\pi}{n}$$

(3)

$\triangle \text{A}_0\text{A}_k\text{A}_{k+1}$ において正弦定理を用いる。 $\text{A}_0\text{A}_k = a_k$、$\text{A}_k\text{A}_{k+1} = a_1$ である。また、(2) より $\angle \text{A}_0\text{A}_{k+1}\text{A}_k = \frac{k\pi}{n}$ であり、$\angle \text{A}_k\text{A}_0\text{A}_{k+1}$ は弧 $\text{A}_k\text{A}_{k+1}$ に対する円周角であるため $\frac{\pi}{n}$ である。したがって、正弦定理より

$$\frac{a_k}{\sin \angle \text{A}_0\text{A}_{k+1}\text{A}_k} = \frac{a_1}{\sin \angle \text{A}_k\text{A}_0\text{A}_{k+1}}$$

$$\frac{a_k}{\sin \frac{k\pi}{n}} = \frac{a_1}{\sin \frac{\pi}{n}}$$

よって、

$$\frac{a_k}{a_1} = \frac{\sin \frac{k\pi}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}}$$

(4)

(3) の結果より、与式の各項は次のように表せる。

$$\frac{a_k}{a_1} \sin \frac{\pi}{2n} = \frac{\sin \frac{k\pi}{n} \sin \frac{\pi}{2n}}{\sin \frac{\pi}{n}}$$

分子に対して、三角関数の積を差に変形する公式 $\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) \}$ を用いると、

$$\sin \frac{k\pi}{n} \sin \frac{\pi}{2n} = -\frac{1}{2} \left\{ \cos \left( \frac{k\pi}{n} + \frac{\pi}{2n} \right) - \cos \left( \frac{k\pi}{n} - \frac{\pi}{2n} \right) \right\} = \frac{1}{2} \left\{ \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n} - \cos \frac{(2k+1)\pi}{2n} \right\}$$

これより、求める和の分子の総和をとると隣接する項が打ち消し合う。

$$\sum_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} \sin \frac{\pi}{2n} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} \left\{ \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n} - \cos \frac{(2k+1)\pi}{2n} \right\}$$

$$= \frac{1}{2} \left\{ \left( \cos \frac{\pi}{2n} - \cos \frac{3\pi}{2n} \right) + \left( \cos \frac{3\pi}{2n} - \cos \frac{5\pi}{2n} \right) + \cdots + \left( \cos \frac{(2n-3)\pi}{2n} - \cos \frac{(2n-1)\pi}{2n} \right) \right\}$$

$$= \frac{1}{2} \left\{ \cos \frac{\pi}{2n} - \cos \frac{(2n-1)\pi}{2n} \right\}$$

ここで、$\cos \frac{(2n-1)\pi}{2n} = \cos \left( \pi - \frac{\pi}{2n} \right) = -\cos \frac{\pi}{2n}$ であるから、

$$\sum_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} \sin \frac{\pi}{2n} = \frac{1}{2} \left\{ \cos \frac{\pi}{2n} - \left( -\cos \frac{\pi}{2n} \right) \right\} = \cos \frac{\pi}{2n}$$

また、分母の $\sin \frac{\pi}{n}$ は2倍角の公式より $2 \sin \frac{\pi}{2n} \cos \frac{\pi}{2n}$ である。以上より、

$$\sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{a_k}{a_1} \sin \frac{\pi}{2n} \right) = \frac{\cos \frac{\pi}{2n}}{2 \sin \frac{\pi}{2n} \cos \frac{\pi}{2n}} = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{2n}}$$

(5)

操作の全体は $k=1, 2, \dots, n-1$ に対する回転である。 (1) より、中心 $\text{A}_k$ での回転における $\text{A}_0$ の軌跡の長さは $\frac{2\pi}{n} a_k$ である。したがって、求める軌跡の長さ $S$ はこれらの和となる。

$$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2\pi}{n} a_k = \frac{2\pi}{n} \sum_{k=1}^{n-1} a_k$$

ここで、$P$ は半径 $1$ の円に内接するため、外接円の半径は $1$ である。単位弧に対する弦の長さ（または正弦定理）を考えると、

$$\frac{a_1}{\sin \frac{\pi}{n}} = 2 \cdot 1 \quad \text{すなわち} \quad a_1 = 2 \sin \frac{\pi}{n} = 4 \sin \frac{\pi}{2n} \cos \frac{\pi}{2n}$$

(4) の結果を変形して $\sum_{k=1}^{n-1} a_k$ を求める。

$$\frac{\sin \frac{\pi}{2n}}{a_1} \sum_{k=1}^{n-1} a_k = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{2n}}$$

$$\sum_{k=1}^{n-1} a_k = \frac{a_1}{2 \sin^2 \frac{\pi}{2n}} = \frac{4 \sin \frac{\pi}{2n} \cos \frac{\pi}{2n}}{2 \sin^2 \frac{\pi}{2n}} = \frac{2 \cos \frac{\pi}{2n}}{\sin \frac{\pi}{2n}}$$

これを $S$ の式に代入して、

$$S = \frac{2\pi}{n} \cdot \frac{2 \cos \frac{\pi}{2n}}{\sin \frac{\pi}{2n}} = \frac{4\pi \cos \frac{\pi}{2n}}{n \sin \frac{\pi}{2n}}$$

解説

正多角形が直線上を転がる際の頂点の軌跡は、各頂点を中心とする円弧のつなぎ合わせになるという古典的なテーマである。軌跡の長さを求めるためには、各ステップでの回転半径の総和を計算することに帰着する。本問は、その計算を誘導に沿って行う構成となっている。円周角の定理や正弦定理を正しく適用できる図形的直感と、積和の公式を用いてシグマ計算を処理する式変形の力が問われている。積和の公式から隣接項同士が相殺し合う形を導き出す計算は、難関大で頻出の処理であるため確実に習得しておきたい。