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数学2 三角関数問題 106 解説

方針・初手

(1) は $S$ の各項に $z^{-1}$ と $z$ を掛けたものを書き下し、辺々引いて差をとる。これは等比数列の和の公式を導出する際の計算手法と同じである。 (2) はド・モアブルの定理を用いて $z^k$ と $z^{-k}$ を極形式で表し、和と差を計算して実部と虚部を抜き出す。 (3) は (1) と (2) の結果を組み合わせる。(1) の式の両辺に $z = \cos\theta + i\sin\theta$ を代入することで、求める等式が導かれる。

解法1

(1)

与えられた $S$ に対して、$z^{-1}S$ と $zS$ をそれぞれ計算すると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} z^{-1}S &= z^{-2n-1} + z^{-2n+1} + z^{-2n+3} + \cdots + z^{-3} + z^{-1} + z + \cdots + z^{2n-5} + z^{2n-3} + z^{2n-1} \\ zS &= z^{-2n+1} + z^{-2n+3} + z^{-2n+5} + \cdots + z^{-1} + z + z^3 + \cdots + z^{2n-3} + z^{2n-1} + z^{2n+1} \end{aligned}$$

上の式から下の式を辺々引くと、中間の項がすべて打ち消し合い、

$$z^{-1}S - zS = z^{-2n-1} - z^{2n+1}$$

となる。

(2)

$z = \cos\theta + i\sin\theta$ のとき、ド・モアブルの定理より、自然数 $k$ に対して

$$\begin{aligned} z^k &= \cos k\theta + i\sin k\theta \\ z^{-k} &= \cos(-k\theta) + i\sin(-k\theta) \\ &= \cos k\theta - i\sin k\theta \end{aligned}$$

が成り立つ。これより、$z^{-k} + z^k$ と $z^{-k} - z^k$ をそれぞれ計算すると、

$$\begin{aligned} z^{-k} + z^k &= (\cos k\theta - i\sin k\theta) + (\cos k\theta + i\sin k\theta) \\ &= 2\cos k\theta \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} z^{-k} - z^k &= (\cos k\theta - i\sin k\theta) - (\cos k\theta + i\sin k\theta) \\ &= -2i\sin k\theta \end{aligned}$$

となる。したがって、$2\cos k\theta$ と $-2\sin k\theta$ は実数であるから、

$z^{-k} + z^k$ の実部は $2\cos k\theta$ $z^{-k} - z^k$ の虚部は $-2\sin k\theta$

である。

(3)

$z = \cos\theta + i\sin\theta$ とする。与えられた $S$ の定義式は、対称な項をまとめることで以下のように変形できる。

$$\begin{aligned} S &= z^{-2n} + z^{-2n+2} + \cdots + z^{-2} + 1 + z^2 + \cdots + z^{2n-2} + z^{2n} \\ &= 1 + (z^{-2} + z^2) + (z^{-4} + z^4) + \cdots + (z^{-2n} + z^{2n}) \\ &= 1 + \sum_{k=1}^n (z^{-2k} + z^{2k}) \end{aligned}$$

(2) の結果において $k$ を $2k$ に置き換えると $z^{-2k} + z^{2k} = 2\cos 2k\theta$ となるので、

$$S = 1 + \sum_{k=1}^n 2\cos 2k\theta = 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos 2k\theta$$

となる。これは証明すべき等式の左辺に等しい。

一方、(1) の結果から

$$(z^{-1} - z)S = z^{-(2n+1)} - z^{2n+1}$$

が成り立つ。(2) の結果を用いると、

$$\begin{aligned} z^{-1} - z &= -2i\sin\theta \\ z^{-(2n+1)} - z^{2n+1} &= -2i\sin(2n+1)\theta \end{aligned}$$

であるから、これらを代入して

$$-2i\sin\theta \cdot S = -2i\sin(2n+1)\theta$$

を得る。条件より $\sin\theta \neq 0$ であるから、両辺を $-2i\sin\theta$ （$\neq 0$）で割ることができ、

$$S = \frac{\sin(2n+1)\theta}{\sin\theta}$$

となる。これは証明すべき等式の右辺に等しい。以上より、

$$1 + 2\sum_{k=1}^n \cos 2k\theta = \frac{\sin(2n+1)\theta}{\sin\theta}$$

が成り立つことが示された。

解説

複素数の極形式とド・モアブルの定理を用いて、三角関数の和を求める典型的な問題である。 (1) は等比数列の和の公式を導出する際の計算手法そのものである。和の公式を丸暗記するだけでなく、公比を掛けて差をとるという導出過程の考え方が、複雑な和の計算にも応用できることが分かる。 (3) は $z^k + z^{-k} = 2\cos k\theta$ という複素数の性質を用いて、実数関数（三角関数）の和を複素数の等比数列の和に帰着させて計算している。$\sin\theta \neq 0$ という条件が $z^{-1} - z \neq 0$ を保証し、両辺を割る操作を可能にしている。