数学2 三角関数･最大最小問題 3 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(\theta)$ は、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の2次同次式である。このような式に対しては、半角の公式および2倍角の公式を用いて次数を下げ、角を $2\theta$ に統一するのが定石である。その後、三角関数の合成を用いてサインのみの式に変形し、与えられた定義域におけるとり得る値の範囲を考える。

解法1

与えられた関数 $f(\theta)$ は以下の通りである。

$$f(\theta) = 3\sin^2\theta + 4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$$

半角の公式および2倍角の公式 $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$, $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$, $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 3 \left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right) + 2\sqrt{3}\sin 2\theta - \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \\ &= \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos 2\theta + 2\sqrt{3}\sin 2\theta - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2\theta \\ &= 2\sqrt{3}\sin 2\theta - 2\cos 2\theta + 1 \end{aligned}$$

次に、三角関数の合成を行う。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 4 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta - \frac{1}{2}\cos 2\theta \right) + 1 \\ &= 4 \left( \sin 2\theta \cos 30^\circ - \cos 2\theta \sin 30^\circ \right) + 1 \\ &= 4\sin(2\theta - 30^\circ) + 1 \end{aligned}$$

$\theta$ の定義域は $45^\circ \leqq \theta \leqq 135^\circ$ である。各辺を2倍して $30^\circ$ を引くことで、位相部分 $2\theta - 30^\circ$ のとり得る値の範囲を求める。

$$90^\circ \leqq 2\theta \leqq 270^\circ$$

$$60^\circ \leqq 2\theta - 30^\circ \leqq 240^\circ$$

ここで $x = 2\theta - 30^\circ$ とおくと、$f(\theta) = 4\sin x + 1$ であり、$x$ の範囲は $60^\circ \leqq x \leqq 240^\circ$ となる。この範囲において、$\sin x$ は $x = 90^\circ$ で最大値 $1$ をとり、$x = 240^\circ$ で最小値 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ をとる。

(i) 最大値について $x = 90^\circ$ のとき、

$$2\theta - 30^\circ = 90^\circ$$

$$2\theta = 120^\circ$$

$$\theta = 60^\circ$$

最大値は $f(60^\circ) = 4 \cdot 1 + 1 = 5$ である。

(ii) 最小値について $x = 240^\circ$ のとき、

$$2\theta - 30^\circ = 240^\circ$$

$$2\theta = 270^\circ$$

$$\theta = 135^\circ$$

最小値は $f(135^\circ) = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 = 1 - 2\sqrt{3}$ である。

解説

$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の2次式における最大・最小問題の典型的な解法である。2倍角の公式を用いて1次式に直すこと、そして三角関数の合成を正しく行うことがポイントである。合成後の角度の範囲を正確に求め、単位円などをイメージしながらその範囲内でのサインの値の最大・最小を見極める必要がある。特に最小値をとるときの角度が範囲の端点になることに注意したい。