数学2 三角関数･最大最小問題 4 解説

方針・初手

(1) は三角関数の合成を用いることで、$t$ の変域を求めることができる。 (2) は $f(x)$ に含まれる $\sin x \cos x$ を $t$ で表し、$f(x)$ を $t$ の2次関数として捉え直す。定義域の制限された2次関数の最大値問題となるため、軸の位置による場合分けを行う。

解法1

(1)

与えられた式を三角関数の合成を用いて変形する。

$$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

$x$ は実数全体を動くので、$-1 \leqq \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$ である。

したがって、$t$ のとりうる値の範囲は以下の通りである。

$$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

(2)

$t = \sin x + \cos x$ の両辺を2乗すると、以下のようになる。

$$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$$

これより、$\sin x \cos x$ は次のように表せる。

$$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$$

関数 $f(x)$ を $t$ の関数とみなし、$g(t)$ とおく。

$$g(t) = at - \frac{t^2 - 1}{2} = -\frac{1}{2}t^2 + at + \frac{1}{2}$$

この2次関数を平方完成する。

$$g(t) = -\frac{1}{2}(t^2 - 2at) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t - a)^2 + \frac{a^2 + 1}{2}$$

関数 $y = g(t)$ のグラフは、上に凸の放物線であり、軸は直線 $t = a$ である。 (1) より $t$ の定義域は $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ であるため、軸 $t = a$ の位置によって最大値をとる $t$ の値が変わる。以下の3つの場合に分ける。

(i) $a > \sqrt{2}$ のとき

軸 $t = a$ は定義域の右側にある。グラフは定義域において単調に増加するため、$t = \sqrt{2}$ のとき最大となる。最大値が $3$ であるから、次が成り立つ。

$$g(\sqrt{2}) = -\frac{1}{2}(\sqrt{2})^2 + a\sqrt{2} + \frac{1}{2} = \sqrt{2}a - \frac{1}{2} = 3$$

これを解くと、以下のようになる。

$$\sqrt{2}a = \frac{7}{2}$$

$$a = \frac{7}{2\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{4}$$

これは $\frac{7\sqrt{2}}{4} = \frac{1.75}{1} \times \sqrt{2} > \sqrt{2}$ であり、条件 $a > \sqrt{2}$ を満たす。

(ii) $-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$ のとき

軸 $t = a$ は定義域内にある。グラフの頂点が最大点となるため、$t = a$ のとき最大となる。最大値が $3$ であるから、次が成り立つ。

$$g(a) = \frac{a^2 + 1}{2} = 3$$

これを解くと、以下のようになる。

$$a^2 + 1 = 6$$

$$a^2 = 5$$

$$a = \pm\sqrt{5}$$

しかし、$\sqrt{5} > \sqrt{2}$ であるため、いずれも条件 $-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$ を満たさない。したがって、この場合は不適である。

(iii) $a < -\sqrt{2}$ のとき

軸 $t = a$ は定義域の左側にある。グラフは定義域において単調に減少するため、$t = -\sqrt{2}$ のとき最大となる。最大値が $3$ であるから、次が成り立つ。

$$g(-\sqrt{2}) = -\frac{1}{2}(-\sqrt{2})^2 - a\sqrt{2} + \frac{1}{2} = -\sqrt{2}a - \frac{1}{2} = 3$$

これを解くと、以下のようになる。

$$-\sqrt{2}a = \frac{7}{2}$$

$$a = -\frac{7}{2\sqrt{2}} = -\frac{7\sqrt{2}}{4}$$

これは $-\frac{7\sqrt{2}}{4} = -1.75\sqrt{2} < -\sqrt{2}$ であり、条件 $a < -\sqrt{2}$ を満たす。

以上 (i), (ii), (iii) より、求める $a$ の値は $a = \pm\frac{7\sqrt{2}}{4}$ である。

解説

$\sin x + \cos x = t$ とおき、式の対称性を利用して $\sin x \cos x$ を $t$ で表すことは、三角関数の最大・最小問題における典型的な手法である。その際、置き換えた文字 $t$ の定義域（とりうる値の範囲）を必ず確認することが重要となる。本問では、得られた2次関数の軸が文字定数 $a$ を含むため、軸と定義域の位置関係による場合分けが求められる。場合分けして得られた解が、その場合分けの条件を満たしているか（解の吟味）を忘れずに行う必要がある。