数学2 三角関数･最大最小問題 5 解説

方針・初手

2倍角の公式を用いて、角を $\theta$ に統一し、$\cos\theta$ だけの式を導く。その後、$t=\cos\theta$ と置換して、得られた $t$ の多項式の最大値・最小値を微分を用いて求める。文字を置換した際は、必ず新しい文字の定義域を確認する。

解法1

(1)

2倍角の公式 $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ を用いると、

$$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 2t^2 - 1$$

であり、さらに $\cos 4\theta$ は次のように表せる。

$$\begin{aligned} \cos 4\theta &= 2\cos^2 2\theta - 1 \\ &= 2(2t^2 - 1)^2 - 1 \\ &= 2(4t^4 - 4t^2 + 1) - 1 \\ &= 8t^4 - 8t^2 + 1 \end{aligned}$$

これらを $y$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} y &= 4\cos\theta + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta \\ &= 4t + 4(2t^2 - 1) + (8t^4 - 8t^2 + 1) \\ &= 4t + 8t^2 - 4 + 8t^4 - 8t^2 + 1 \\ &= 8t^4 + 4t - 3 \end{aligned}$$

(2)

$0 \leqq \theta < 2\pi$ より、$-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ であるから、

$$-1 \leqq t \leqq 1$$

となる。$y = f(t) = 8t^4 + 4t - 3$ とおく。

$f(t)$ を $t$ について微分すると、

$$\begin{aligned} f'(t) &= 32t^3 + 4 \\ &= 4(8t^3 + 1) \\ &= 4(2t + 1)(4t^2 - 2t + 1) \end{aligned}$$

ここで、$4t^2 - 2t + 1 = 4\left(t - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ であるため、$f'(t) = 0$ を満たす実数 $t$ は $t = -\frac{1}{2}$ のみである。

$-1 \leqq t \leqq 1$ における $f(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$-1$	$\cdots$	$-\frac{1}{2}$	$\cdots$	$1$
$f'(t)$		$-$	$0$	$+$
$f(t)$	$1$	$\searrow$	$-\frac{9}{2}$	$\nearrow$	$9$

増減表を作成するにあたり、各点での関数値は次のように計算される。

$$\begin{aligned} f(-1) &= 8(-1)^4 + 4(-1) - 3 = 1 \\ f\left(-\frac{1}{2}\right) &= 8\left(-\frac{1}{2}\right)^4 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) - 3 = \frac{1}{2} - 2 - 3 = -\frac{9}{2} \\ f(1) &= 8(1)^4 + 4(1) - 3 = 9 \end{aligned}$$

増減表より、$y$ は $t = 1$ で最大値 $9$、$t = -\frac{1}{2}$ で最小値 $-\frac{9}{2}$ をとる。

これらを $\theta$ の値に戻す。

$t = 1$ すなわち $\cos\theta = 1$ のとき、$0 \leqq \theta < 2\pi$ より、

$$\theta = 0$$

$t = -\frac{1}{2}$ すなわち $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$0 \leqq \theta < 2\pi$ より、

$$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$$

以上より、最大値および最小値と、そのときの $\theta$ の値が求められた。

解説

2倍角の公式を用いて三角関数を多項式に帰着させ、微分法により最大・最小を求める典型問題である。$\cos 4\theta$ は $\cos 2(2\theta)$ と見なして2倍角の公式を2回適用することで求められる。文字を置き換えた際には、必ず新しい文字の定義域を確認することが重要である。また、導関数 $f'(t)$ を因数分解した際に出てくる2次式が常に正であることを示しておくと、極値が1つしかないことの根拠が明確になり、論理の飛躍を防ぐことができる。