数学2 三角関数･最大最小問題 6 解説

方針・初手

$x$ のとりうる値の範囲は、三角関数の合成を用いて求める。 $y$ を $x$ で表すために、$x^2$ を計算し、2倍角の公式を用いて $y$ の式と比較する。変数を置き換えた後は、求められた $x$ の定義域における2次関数の最大値・最小値を調べる。

解法1

まず、$x$ のとりうる値の範囲を求める。

三角関数の合成を用いると、$x$ は次のように変形できる。

$$x = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ であるから、角 $\theta + \frac{\pi}{3}$ のとりうる範囲は以下のようになる。

$$\frac{\pi}{3} \leqq \theta + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{4\pi}{3}$$

この範囲において、$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$ は、$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $1$ をとり、$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき最小値 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ をとる。

したがって、

$$-\frac{\sqrt{3}}{2} \leqq \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) \leqq 1$$

辺々を2倍して、$x$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$-\sqrt{3} \leqq x \leqq 2$$

次に、$y$ を $x$ の2次式で表す。

$x = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の両辺を2乗すると、

$$\begin{aligned} x^2 &= (\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta)^2 \\ &= \sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 3\cos^2\theta \end{aligned}$$

ここで、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入して整理する。

$$\begin{aligned} x^2 &= (1 - \cos^2\theta) + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 3\cos^2\theta \\ &= 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 2\cos^2\theta + 1 \end{aligned}$$

一方、$y$ の式に含まれる2倍角の項について、$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ および $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} \sqrt{3}\sin 2\theta + \cos 2\theta &= \sqrt{3}(2\sin\theta\cos\theta) + (2\cos^2\theta - 1) \\ &= 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 2\cos^2\theta - 1 \end{aligned}$$

先ほど求めた $x^2$ の式から、$2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 2\cos^2\theta = x^2 - 1$ であるため、これを代入する。

$$\sqrt{3}\sin 2\theta + \cos 2\theta = (x^2 - 1) - 1 = x^2 - 2$$

したがって、$y$ を $x$ を用いて表すと以下のようになる。

$$\begin{aligned} y &= (\sqrt{3}\sin 2\theta + \cos 2\theta) - 2(\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta) + 2 \\ &= (x^2 - 2) - 2x + 2 \\ &= x^2 - 2x \end{aligned}$$

最後に、$y$ のとりうる値の範囲を求める。

$$y = (x - 1)^2 - 1$$

これは下に凸の放物線であり、軸は直線 $x = 1$ である。

$x$ の変域は $-\sqrt{3} \leqq x \leqq 2$ であり、軸 $x = 1$ はこの区間内に含まれるため、$x = 1$ のとき $y$ は最小値 $-1$ をとる。

最大値は、軸から遠い方の端点である $x = -\sqrt{3}$ のときにとる。

$$y = (-\sqrt{3})^2 - 2(-\sqrt{3}) = 3 + 2\sqrt{3}$$

念のため $x = 2$ のときの値を計算すると、$y = 2^2 - 2 \cdot 2 = 0$ となり、確かに $x = -\sqrt{3}$ のときの方が大きい。

よって、$y$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$-1 \leqq y \leqq 3 + 2\sqrt{3}$$

解説

三角関数の合成、2倍角の公式の利用、および変数の置き換えに伴う定義域の確認という、頻出テーマが詰まった標準的な問題である。特に、$x^2$ を展開した式と、$y$ に含まれる2倍角の項をいかに結びつけるかがポイントとなる。$\sin^2\theta$ と $\cos^2\theta$ の次数下げや $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を活用して係数を合わせる処理は、確実にできるようにしておきたい。