数学2 三角関数･最大最小問題 7 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(\theta)$ は、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の基本対称式によって構成されている。このような場合は、$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおき、$f(\theta)$ を $t$ の関数に帰着させるのが定石である。(1) では三角関数の合成を用いて $t$ の変域を求め、(2) では対称式の性質を用いて $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表す。(3) では、得られた $t$ の多項式について、微分を用いて指定された変域における最大値と最小値を求める。

解法1

(1)

$t = \sin\theta + \cos\theta$ について、三角関数の合成を行う。

$$t = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$$

変数 $\theta$ の範囲は $0 \leqq \theta \leqq \pi$ であるから、$\theta + \frac{\pi}{4}$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$\frac{\pi}{4} \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{5}{4}\pi$$

この範囲において、$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$ がとりうる値の範囲は、

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \leqq 1$$

したがって、各辺を $\sqrt{2}$ 倍して以下の範囲を得る。

$$-1 \leqq \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \leqq \sqrt{2}$$

よって、$t$ のとりうる値の範囲は $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ である。

(2)

$t = \sin\theta + \cos\theta$ の両辺を2乗する。

$$t^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$$

これを $\sin\theta\cos\theta$ について解くと、

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$$

また、$f(\theta)$ に含まれる $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ を因数分解の公式を用いて変形し、上記の $\sin\theta\cos\theta$ を代入する。

$$\begin{aligned} \sin^3\theta + \cos^3\theta &= (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) \\ &= t (1 - \sin\theta\cos\theta) \\ &= t \left( 1 - \frac{t^2 - 1}{2} \right) \\ &= t \left( \frac{3 - t^2}{2} \right) \\ &= \frac{-t^3 + 3t}{2} \end{aligned}$$

これらを用いて、与えられた関数 $f(\theta)$ を $t$ で表す。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 4(\sin^3\theta + \cos^3\theta) - 9\sin\theta\cos\theta + 4\cos^3\theta + 1 \quad (\text{※問題文の誤植と思われるが、初項と第3項をまとめて } 4(\sin^3\theta + \cos^3\theta) \text{ とする}) \\ &= 4 \cdot \frac{-t^3 + 3t}{2} - 9 \cdot \frac{t^2 - 1}{2} + 1 \\ &= 2(-t^3 + 3t) - \frac{9}{2}(t^2 - 1) + 1 \\ &= -2t^3 + 6t - \frac{9}{2}t^2 + \frac{9}{2} + 1 \\ &= -2t^3 - \frac{9}{2}t^2 + 6t + \frac{11}{2} \end{aligned}$$

よって、$\theta$ の関数 $f(\theta)$ を $t$ の関数 $g(t)$ として表すと、

$$g(t) = -2t^3 - \frac{9}{2}t^2 + 6t + \frac{11}{2}$$

(3)

(2) で求めた関数 $g(t)$ について、導関数を求める。

$$\begin{aligned} g'(t) &= -6t^2 - 9t + 6 \\ &= -3(2t^2 + 3t - 2) \\ &= -3(2t - 1)(t + 2) \end{aligned}$$

$g'(t) = 0$ となる $t$ の値は、$t = \frac{1}{2}, -2$ である。 (1) より $t$ の定義域は $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ であるから、この範囲における $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$-1$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$	$\sqrt{2}$
$g'(t)$		$+$	$0$	$-$
$g(t)$	$-3$	$\nearrow$	$\frac{57}{8}$	$\searrow$	$2\sqrt{2} - \frac{7}{2}$

増減表に現れる各点の値を計算する。

$t = -1$ のとき、

$$g(-1) = -2(-1)^3 - \frac{9}{2}(-1)^2 + 6(-1) + \frac{11}{2} = 2 - \frac{9}{2} - 6 + \frac{11}{2} = -3$$

$t = \frac{1}{2}$ のとき、

$$g\left(\frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{8}\right) - \frac{9}{2}\left(\frac{1}{4}\right) + 6\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{11}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{9}{8} + 3 + \frac{11}{2} = \frac{-2 - 9 + 24 + 44}{8} = \frac{57}{8}$$

$t = \sqrt{2}$ のとき、

$$g(\sqrt{2}) = -2(\sqrt{2})^3 - \frac{9}{2}(\sqrt{2})^2 + 6(\sqrt{2}) + \frac{11}{2} = -4\sqrt{2} - 9 + 6\sqrt{2} + \frac{11}{2} = 2\sqrt{2} - \frac{7}{2}$$

最小値の候補である $g(-1)$ と $g(\sqrt{2})$ の大小を比較する。 $2\sqrt{2} - \frac{7}{2} = \sqrt{8} - 3.5$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ であるから、

$$-1.5 < \sqrt{8} - 3.5 < -0.5$$

これより、$-3 < 2\sqrt{2} - \frac{7}{2}$ が成り立つ。したがって、$g(-1) < g(\sqrt{2})$ となるため、最小値は $g(-1) = -3$ であることがわかる。

以上より、関数 $g(t)$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{57}{8}$ をとり、$t = -1$ のとき最小値 $-3$ をとる。

解説

$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の対称式を含む関数の最大・最小問題における、非常に典型的な誘導問題である。和を $t$ とおき、2乗して積を $t$ で表すという一連の処理は、大学入試において頻出のテクニックである。

このタイプの問題で最も重要なのは、(1) で求める「置換した文字 $t$ の定義域」である。$\theta$ の範囲に応じて $t$ の範囲は変化するため、常に三角関数の合成を用いて正確な範囲を求めなければならない。ここで範囲を誤ると、(3) の増減表や最大値・最小値が全て狂ってしまう。

(3) の最大値・最小値の判定において、区間の端点における値の比較（無理数と有理数の大小比較）が要求される。ここでも慌てずに、無理数部分をルートの中にしまい込んで近似値を考えることで、確実な判定ができる。