数学2 三角関数･最大最小問題 8 解説

方針・初手

与えられた三角関数の式を $\cos x$ のみに統一する。2倍角の公式 $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ と相互関係 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を用いて式を整理し、$\cos x = t$ とおいて $t$ の2次関数の最大・最小問題に帰着させる。このとき、$t$ の変域に注意する。

解法1

与式は $y = 3 \cos 2x + 2 \sin^2 x - 4 \cos x - 2$ である。

2倍角の公式 $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ と、相互関係 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を用いて変形すると、

$$\begin{aligned} y &= 3(2 \cos^2 x - 1) + 2(1 - \cos^2 x) - 4 \cos x - 2 \\ &= 6 \cos^2 x - 3 + 2 - 2 \cos^2 x - 4 \cos x - 2 \\ &= 4 \cos^2 x - 4 \cos x - 3 \end{aligned}$$

となる。

ここで、$\cos x = t$ とおく。

$0 \leqq x < 2\pi$ であるから、$t$ のとり得る値の範囲は

$$-1 \leqq t \leqq 1$$

である。

$y$ を $t$ を用いて表し、平方完成すると、

$$\begin{aligned} y &= 4t^2 - 4t - 3 \\ &= 4\left(t^2 - t\right) - 3 \\ &= 4\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 - 3 \\ &= 4\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - 4 \end{aligned}$$

となる。

これは $t$ についての2次関数であり、グラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $t = \frac{1}{2}$ である。

$-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲において、グラフの軸は変域内にあり、軸から最も遠いのは $t = -1$ のときである。

したがって、$t = -1$ のとき、最大値をとる。その値は、

$$y = 4(-1)^2 - 4(-1) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$$

$t = \frac{1}{2}$ のとき、最小値をとる。その値は、

$$y = -4$$

以上より、最大値は $5$、最小値は $-4$ である。