数学2 三角関数･最大最小 問題 9 解説

方針・初手

2倍角の公式を用いて、式の角を $x$ に、関数を $\sin x$ に統一する。その後、$\sin x = t$ とおき、$t$ のとり得る値の範囲に注意しながら $t$ の2次関数の最大値と最小値を求める。

解法1

与えられた関数は

$$y = \sin x + \cos 2x$$

である。

2倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$$y = \sin x + (1 - 2\sin^2 x)$$

$$y = -2\sin^2 x + \sin x + 1$$

となる。

ここで、$\sin x = t$ とおく。$x$ の変域は指定されていない（すべての実数値をとる）ため、$t$ のとり得る値の範囲は

$$-1 \leqq t \leqq 1$$

である。

このとき、$y$ を $t$ で表すと、

$$y = -2t^2 + t + 1$$

となる。右辺を平方完成すると、

$$y = -2 \left( t^2 - \frac{1}{2}t \right) + 1$$

$$y = -2 \left( t - \frac{1}{4} \right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{16} + 1$$

$$y = -2 \left( t - \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{9}{8}$$

となる。

$y$ は $t$ についての2次関数であり、グラフは上に凸の放物線で、頂点の座標は $\left( \frac{1}{4}, \frac{9}{8} \right)$ である。

定義域 $-1 \leqq t \leqq 1$ において、 頂点 $t = \frac{1}{4}$ はこの区間に含まれるため、ここで最大となる。

$t = \frac{1}{4}$ のとき、最大値は $\frac{9}{8}$ である。

区間の両端での値は、

$t = -1$ のとき、$y = -2 \cdot (-1)^2 + (-1) + 1 = -2$

$t = 1$ のとき、$y = -2 \cdot 1^2 + 1 + 1 = 0$

となる。

よって、最小値は $t = -1$ のときの $-2$ である。

したがって、$y$ のとり得る値の範囲は、

$$-2 \leqq y \leqq \frac{9}{8}$$

である。

解説

三角関数を含む関数の最大・最小を求める典型的な問題である。

まず、角が $x$ と $2x$ で異なっているため、2倍角の公式を用いて角を $x$ にそろえ、同時に関数の種類を $\sin x$ のみに統一することが最初のポイントである。

次に、$\sin x = t$ と置き換えることで見慣れた2次関数の問題に帰着させる。このとき、置き換えた文字 $t$ の変域を必ず確認する。本問では $x$ に制限がないため、変域は $-1 \leqq t \leqq 1$ となる。

あとは指定された定義域の範囲内で、グラフの軸の位置に注意しながら2次関数の最大値と最小値を正しく求めればよい。

答え

$-2 \leqq y \leqq \frac{9}{8}$