数学2 三角関数･最大最小問題 10 解説

方針・初手

$\sin^2\theta$、$\cos^2\theta$、$\sin\theta\cos\theta$ の項を含む2次式は、半角の公式および2倍角の公式を用いて $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の1次式に直すことが基本である。次数を下げることで、三角関数の合成を用いて関数を1つのサイン（またはコサイン）関数にまとめ、最大値・最小値を求めることができるようになる。

解法1

(1) 与えられた関数は以下の通りである。

$$f(\theta) = 2\{(a-1)\sin^2\theta + a\sin\theta\cos\theta + (a+1)\cos^2\theta\}$$

ここで、2倍角の公式と半角の公式を用いる。

$$\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$$

$$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$$

$$2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$$

これらを $f(\theta)$ の式に代入して整理する。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 2(a-1)\cdot\frac{1-\cos 2\theta}{2} + a\sin 2\theta + 2(a+1)\cdot\frac{1+\cos 2\theta}{2} \\ &= (a-1)(1-\cos 2\theta) + a\sin 2\theta + (a+1)(1+\cos 2\theta) \\ &= a - 1 - (a-1)\cos 2\theta + a\sin 2\theta + a + 1 + (a+1)\cos 2\theta \\ &= a\sin 2\theta + \{-(a-1) + (a+1)\}\cos 2\theta + (a-1 + a+1) \\ &= a\sin 2\theta + 2\cos 2\theta + 2a \end{aligned}$$

したがって、求める空欄の式は以下のようになる。 [ア] $= a$、[イ] $= 2$、[ウ] $= 2a$

(2) (1)で求めた式に対して、三角関数の合成を行う。

$$f(\theta) = \sqrt{a^2+2^2}\sin(2\theta+\alpha) + 2a = \sqrt{a^2+4}\sin(2\theta+\alpha) + 2a$$

ただし、$\alpha$ は以下を満たす角である。

$$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+4}}, \quad \sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{a^2+4}}$$

問題の条件より $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ であるから、$0^\circ \leqq 2\theta \leqq 360^\circ$ となる。したがって、角度 $2\theta+\alpha$ は $360^\circ$ の区間を動くため、$\sin(2\theta+\alpha)$ の取り得る値の範囲は以下のようになる。

$$-1 \leqq \sin(2\theta+\alpha) \leqq 1$$

これにより、$f(\theta)$ の最大値と最小値は以下の通りとなる。

$$\text{最大値} = 2a + \sqrt{a^2+4}$$

$$\text{最小値} = 2a - \sqrt{a^2+4}$$

最大値と最小値の差が $5$ であるから、次の方程式が成り立つ。

$$(2a + \sqrt{a^2+4}) - (2a - \sqrt{a^2+4}) = 5$$

$$2\sqrt{a^2+4} = 5$$

両辺は正であるため、そのまま2乗して解く。

$$4(a^2+4) = 25$$

$$4a^2 + 16 = 25$$

$$4a^2 = 9$$

$$a^2 = \frac{9}{4}$$

$a$ は正の定数であるから、$a > 0$ より $a = \frac{3}{2}$ を得る。

このとき、$f(\theta)$ の最大値は以下のように計算できる。

$$2 \cdot \frac{3}{2} + \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+4} = 3 + \sqrt{\frac{9}{4}+4} = 3 + \sqrt{\frac{25}{4}} = 3 + \frac{5}{2} = \frac{11}{2}$$

解説

$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の2次同次式を扱う際の定石である、2倍角・半角の公式を用いた次数下げと、三角関数の合成を活用する典型的な問題である。定義域が $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ と与えられているため、$2\theta$ の動く範囲がちょうど $360^\circ$（1周分）となり、合成後のサイン関数が $-1$ から $1$ までのすべての値を取ることに注意する。定義域が変わると最大値・最小値を取る条件が変わる可能性があるため、角度の変域の確認は必ず行うべきである。